Облако знаний. Решение систем нелинейных уравнений методом введения новых переменных. Математика. 9 класс

Решение систем нелинейных уравнений методом введения новых переменных

Алгоритм использования метода замены переменных при решении систем нелинейных уравнений с двумя переменными x, y:

№	Описание	Пример: $\{\begin{matrix} \frac{5}{3 a - b} + \frac{3}{a - 3 b} = - 2, \\ \frac{15}{3 a - b} + \frac{2}{a - 3 b} = 1 . \end{matrix}$
1	Заметить в системе одинаковые выражения и ввести новые переменные	$\frac{5}{3 a - b} = x, \frac{1}{a - 3 b} = y,$ $\{\begin{matrix} \frac{5}{3 a - b} + \frac{3}{a - 3 b} = - 2, \\ \frac{15}{3 a - b} + \frac{2}{a - 3 b} = 1; \end{matrix} ⟺ \{\begin{matrix} x + 3 y = - 2, \\ 3 x + 2 y = 1 . \end{matrix}$
2	Решить полученную систему линейных уравнений	$\{\begin{matrix} x = - 2 - 3 y, \\ 3 (- 2 - 3 y) + 2 y = 1; \end{matrix} ⟺ \{\begin{matrix} x = - 2 - 3 y, \\ y = - 1; \end{matrix} ⟺$ $⟺ \{\begin{matrix} x = - 2 - 3 \cdot (- 1), \\ y = - 1; \end{matrix} ⟺ \{\begin{matrix} x = 1, \\ y = - 1 . \end{matrix}$
3	Вернуться к исходным переменным, прове-рить, что знаменатели не равны нулю	$\{\begin{matrix} \frac{5}{3 a - b} = 1, \\ \frac{1}{a - 3 b} = - 1; \end{matrix} ⟺ \{\begin{matrix} 3 a - b = 5 \neq 0, \\ a - 3 b = - 1 \neq 0 . \end{matrix}$
4	Решить полученную систему линейных уравнений	$\{\begin{matrix} 3 (3 b - 1) - b = 5, \\ a = 3 b - 1; \end{matrix} ⟺ \{\begin{matrix} b = 1, \\ a = 3 b - 1; \end{matrix} ⟹$ $⟹ \{\begin{matrix} b = 1, \\ a = 3 \cdot 1 - 1; \end{matrix} ⟺ \{\begin{matrix} b = 1, \\ a = 2 . \end{matrix}$
5	Записать ответ в виде (a; b)	Ответ. ( $2$ ; $1$ ).

Было полезно?