Математика • 8 класс

Дробно-рациональные уравнения, сводящиеся к квадратным

Дробно-рациональные уравнения сводятся к квадратным уравнениям, когда после преобразования дробно-рационального уравнения к виду $\frac{p (x)}{q (x)} = 0$ и определения области допустимых значений (ОДЗ) ( $q (x) \neq 0$ ) решается квадратное уравнение $p (x) = 0$ .
Пример. Решите уравнение $\frac{2 x}{(x + 2) (x + 1)} = \frac{3 x}{x (x + 2)} - \frac{1}{x (x + 1)}$ .
Приведём рациональные дроби к общему знаменателю и упростим выражение:
$\frac{2 x \cdot x}{x (x + 2) (x + 1)} - \frac{3 x (x + 1)}{x (x + 2) (x + 1)} + \frac{x + 2}{x (x + 1) (x + 2)} = \frac{2 x^{2} - 3 x^{2} - 3 + x + 2}{x (x + 2) (x + 1)} = \frac{- x^{2} + x - 1}{x (x + 2) (x + 1)} .$
Определим ОДЗ: $x \neq 0; x \neq - 1; x \neq - 2$ .
Решим квадратное уравнение $- x^{2} + x - 1 = 0$ .
$x_{1} = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$ ; $x_{2} = \frac{- 1 - \sqrt{5}}{2}$ .
Полученные корни принадлежат ОДЗ, значит, они являются корнями исходного уравнения.
Ответ. $\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$ ; $\frac{- 1 - \sqrt{5}}{2}$ .

Было полезно?