Математика • 8 класс

Алгебраические дроби с разными знаменателями в выражениях

Если при сложении или вычитании алгебраических дробей у них разные знаменатели и представляют собой выражения, то необходимо придерживаться следующего алгоритма:
- разложить знаменатели на множители;
- найти общий знаменатель;
- найти дополнительные множители;
- найти для каждой дроби новый числитель;
- воспользоваться правилом сложения или вычитания алгебраических дробей с общим знаменателем.
Пример. Докажите тождество $\frac{x (x + 1) + 2 (x y - x^{3} + y)}{2 {(x + 1)}^{2} (x - 1)} = \frac{x}{x + 1} + \frac{x^{2} y + x y - 2 x^{2}}{x^{2} - 1}$ .
Преобразуем выражение в правой части и получим выражение в левой части:
$\frac{x}{2 {(x + 1)}^{2}} + \frac{y + x - x^{2}}{x^{2} - 1} = \frac{x}{2 (x + 1) (x + 1)} + \frac{y + x - x^{2}}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{x (x - 1) + 2 (x + 1) (y + x - x^{2})}{2 {(x + 1)}^{2} (x - 1)} =$
$= \frac{x^{2} - x + 2 x y + 2 x^{2} - 2 x^{3} + 2 y + 2 x - 2 x^{2}}{2 {(x + 1)}^{2} (x - 1)} = \frac{x^{2} + x + 2 x y - 2 x^{3} + 2 y}{2 {(x + 1)}^{2} (x - 1)} = \frac{x (x + 1) + 2 (x y - x^{3} + y)}{2 {(x + 1)}^{2} (x - 1)} .$
Тождество доказано.

Было полезно?