Облако знаний. Примеры систем логарифмических уравнений и неравенств. Математика. 11 класс

Примеры систем логарифмических уравнений и неравенств

Пример 1. Решите систему уравнений $\{\begin{matrix} 3^{\log_{3} (𝑥 - 𝑦)} = 1, \\ \log_{3} (2 𝑥 - 𝑦) + \log_{3} 𝑦 = 1 . \end{matrix}$
Ограничение: $𝑦 > 0 .$
$\{\begin{matrix} 3^{\log_{3} (𝑥 - 𝑦)} = 1, \\ \log_{3} (2 𝑥 - 𝑦) + \log_{3} 𝑦 = 1; \end{matrix} ⇒$ $\{\begin{matrix} 𝑥 - 𝑦 = 1, \\ \log_{3} ((2 𝑥 - 𝑦) \cdot 𝑦) = \log_{3} 3; \end{matrix} ⇒$
$⇒ \{\begin{matrix} 𝑥 = 𝑦 + 1, \\ (2 (𝑦 + 1) - 𝑦) \cdot 𝑦 = 3 . \end{matrix} ⇒$ $(2 𝑦 + 2 - 𝑦) \cdot 𝑦 = 3, ⇒$
$⇒ (𝑦 + 2) \cdot 𝑦 - 3 = 0, {⇒ 𝑦}^{2} + 2 𝑦 - 3 = 0$ ,
$𝑦 = - 3$ – не удовлетворяет ограничению,
$𝑦 = 1$ .
$\{\begin{matrix} 𝑥 = 𝑦 + 1, \\ 𝑦 = 1 . \end{matrix} ⇒ \{\begin{matrix} 𝑥 = 2, \\ 𝑦 = 1 . \end{matrix}$
Ответ: (2; 1).
Пример 2. Решите систему неравенств $\{\begin{matrix} \log_{2} 𝑥 + 2 \log_{4} 𝑥 + 3 \log_{8} 𝑥 \leq 6, \\ \log_{3} 𝑥 + 2 \log_{9} 𝑥 + 3 \log_{27} 𝑥 \leq 3 . \end{matrix}$
Ограничение: $𝑥 > 0$ .
Решим каждое неравенство системы по отдельности:
1) $\log_{2} 𝑥 + 2 \log_{4} 𝑥 + 3 \log_{8} 𝑥 \leq 6$ , $⇒ \log_{2} 𝑥 \leq 6$ , $⇒ \log_{2} 𝑥 \leq 2, ⇒ 𝑥 \leq 4$ .
2) $\log_{3} 𝑥 + 2 \log_{9} 𝑥 + 3 \log_{27} 𝑥 \leq 3, ⇒ 3 \log_{3} 𝑥 \leq 3$ , ${⇒ \log}_{3} 𝑥 \leq 1, ⇒ 𝑥 \leq 3$ .
3) Объединим решения неравенств с учётом ограничения:
$\{\begin{matrix} 𝑥 \leq 4, \\ 𝑥 \leq 3, \\ 𝑥 > 0, \end{matrix} ⇒ 0 < 𝑥 \leq 3$ .
Ответ: $(0; 3]$ .

Было полезно?