Тригонометрические неравенства с корнями и модулями

• Введение новой переменной. Неравенство приводится к простейшему виду, решается для переменной, а затем возвращается к переменной и находится её значение.
• Разложение на множители. Выражение раскладывается на множители различными способами. Затем неравенство решается методом интервалов или совокупностью систем.

Стандартный метод решения тригонометрических неравенств с модулем: координатная прямая разбивается на промежутки по нулям подмодульных выражений, и неравенство решается на каждом из них.

В сложных неравенствах, где модуль сравнивается с выражением, модуль раскрывается по определению с учётом всех возможных случаев.

Пример. Решите неравенство: $\left|9\text{ctg} x-8\right|<$ $ctg x$.

Решение. Раскроем модуль по определению. Получим:

$\left\{\begin{array}{c}9\text{c}\text{t}\text{g} x-8<\text{c}\text{t}\text{g} x, \\ 9 \text{c}\text{t}\text{g} x-8>-\text{c}\text{t}\text{g} x;\end{array}\right. \left\{\begin{array}{c}8 \text{c}\text{t}\text{g} x<8,\\ 10\text{c}\text{t}\text{g} x>8;\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}\text{c}\text{t}\text{g} x<1, \\ \text{c}\text{t}\text{g} x>\mathrm{0,8}.\end{array}\right.$

Ответ. $x\in \left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}+\mathrm{\pi }n;\text{arcctg} \mathrm{0,8}+\mathrm{\pi }n\right), n$∈ ℤ.