Математика • 11 класс

299

Приближения для тригонометрических функций с помощью неравенств. Первый замечательный предел

Если $x \in (- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$ и $x \neq 0$ , то справедливо неравенство:

cos x $< \frac{sin x}{x} < 1 .$
Для всех $x \in ℝ$ справедливо неравенство:

$|sin x| \leq |x| .$
При $x \in [0; \frac{π}{2}]$ справедливо неравенство:

sin x $\leq x$ $\leq$ tg x
Если $x \to 0$ , то $\frac{sin x}{x} \to 0$ , то есть

$\lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x} = 1 .$

Этот предел называется первым замечательным пределом.
Следствия из первого замечательного предела:
- $\lim_{x \to 0} \frac{\sin α x}{\sin β x} = \frac{α}{β} .$
- $\lim_{x \to 0} \frac{tg x}{x} = 1 .$
- $\lim_{x \to 0} \frac{1 - cos x}{x^{2}} = 1 .$
- $\lim_{x \to 0} \frac{arcsin x}{x} = 1 .$
- $\lim_{x \to 0} \frac{arctg x}{x} = 1 .$

Было полезно?

Рекомендуем

География • 7 класс

Образование льдов. Изменение ледовитости и уровня Мирового океана

Физика • 7 класс

Точность и погрешность измерений

Математика • 11 класс

Системы иррациональных уравнений и неравенств с параметром

Вы учитель или ученик?

Познакомьтесь с нашим образовательным онлайн-сервисом с тысячами интерактивных работ

Учителю

Удобно проводить уроки в классе, назначать работы на дом и анализировать результаты всего класса или конкретных учеников

Ученику

Самостоятельно изучать новые и повторять пройденные темы, готовиться по индивидуальной траектории и оценивать результаты на наглядных графиках

Зарегистрироваться в «Облаке знаний»

Пользуясь нашим сайтом, вы соглашаетесь с тем, что мы используем cookies 🍪