Математика • 11 класс

Решение показательных неравенств методом последовательных упрощений

Метод последовательных упрощений в показательных неравенствах – это приём, который позволяет упростить сложные неравенства, сводя их к алгебраическим, чаще всего квадратным.
Пример 1. Решите неравенство $\sqrt[10]{2^{x^{2} - 14,5 x}} < \frac{1}{8}$ .
Решение 1. Запишем неравенство в виде $2^{\frac{x^{2} - 14,5 x}{10}} < 2^{- 3}$ . Так как основание 2 показательной функции больше единицы (показательная функция возрастающая), то показатели степеней связаны неравенством того же знака: $\frac{x^{2} - 14,5 x}{10} > - 3$ или $x^{2} - 14,5 x + 30 > 0$ . Решим полученное квадратное неравенство методом интервалов.
Ответ. x ∈ (2,5; 12).
Пример 2. Решите неравенство ${(x - 2)}^{x^{2} - 6 x + 8} \geq 1$ .
Решение 2. ОДЗ неравенства x ∈ (2; +∞). Запишем неравенство в виде ${(x - 2)}^{x^{2} - 6 x + 8} - 1 \geq 0$ . и найдем корни, соответствующего уравнения: $x_{1} = 3$ и $x_{2} = 4$ . Решим неравенство методом интервалов с учетом ОДЗ.
Ответ. x ∈ (2; 3] $\cup$ [4; +∞).

Было полезно?