Математика • 11 класс

Равносильность переходов в логарифмических неравенствах

При $a > 1$ неравенство $\log_{a} x_{1} > \log_{a} x_{2}$ выполняется тогда и только тогда, когда $x_{1} > x_{2} > 0$ ; при $0 < a < 1$ неравенство $\log_{a} x_{1} > \log_{a} x_{2}$ выполняется тогда и только тогда, когда $0 < x_{1} < x_{2}$ .
Если $a > 1$ , то неравенство $\log_{a} f (x) > \log_{a} g (x)$ равносильно системе неравенств
$\{\begin{matrix} f (x) > g (x), \\ g (x) > 0 . \end{matrix}$
Если $0 < a < 1$ , то неравенство $\log_{a} f (x) > \log_{a} g (x)$ равносильно системе неравенств
$\{\begin{matrix} f (x) < g (x), \\ f (x) > 0 . \end{matrix}$
Пример. Решите неравенство $\log_{\frac{1}{2}} (3 x - 14) < \log_{\frac{1}{2}} (x + 2)$ .
Неравенство равносильно системе
$\{\begin{matrix} 3 x - 14 > x + 2, \\ x + 2 > 0 \end{matrix} \{\begin{matrix} x > 8, \\ x > - 2 \end{matrix} x > 8 .$
Ответ. $(8; + ∞)$ .

Было полезно?