Примеры систем иррациональных уравнений и неравенств

Пример 1. Решите систему уравнений

$\left\{\begin{array}{c}\sqrt{𝑥+𝑦}=1,\\ \sqrt{𝑥-𝑦}=3.\end{array}\right.$

Возведём правую и левую часть каждого уравнения во вторую степень:

$\left\{\begin{array}{c}𝑥+𝑦=1,\\ 𝑥-𝑦=9.\end{array}\right.$

Воспользуемся методом сложения:

$𝑥+𝑦+𝑥-𝑦=1+9$,

$2𝑥=10$,

$𝑥=5$.

$\left\{\begin{array}{c}𝑥=5,\\ 𝑦=𝑥-9.\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}𝑥=5,\\ 𝑦=-4.\end{array}\right.$

Ответ: (5; –4).

Пример 2. Решите систему неравенств

$\left\{\begin{array}{c}\sqrt{𝑥+61}<𝑥-11,\\ \sqrt{𝑥+2}<𝑥.\end{array}\right.$

Решим каждое неравенство системы по отдельности:

1)$\sqrt{𝑥+61}<𝑥-11$,

$\left\{\begin{array}{c}𝑥+61<{\left(𝑥-11\right)}^2,\\ 𝑥-11>0,\\ 𝑥+61\ge 0.\end{array}\right.$

$𝑥>20$.

2)$\sqrt{𝑥+2}<𝑥$,

$\left\{\begin{array}{c}𝑥+2<{𝑥}^2,\\ 𝑥>0,\\ 𝑥+2\ge 0.\end{array}\right.$ ⇒ $\left\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}𝑥<-1,\\ 𝑥>2,\end{array}\right.\\ 𝑥>0,\\ 𝑥\ge -2.\end{array}\right.$ ⇒ $𝑥>2$.

3) Объединим решения неравенств:

$\left\{\begin{array}{c}𝑥>20,\\ 𝑥>2,\end{array}\right.$ ⇒ $𝑥>20$.

Ответ: $(20;+∞)$.