Математика • 11 класс

Иррациональные уравнения с параметром

Иррациональными уравнениями называются уравнения, содержащие переменную под знаком корня или под знаком возведения в дробную степень. При этом степень корня может быть произвольной.
При решении уравнения необходимо учитывать, что $\sqrt{𝑥}$ определён при $𝑥 \geq 0$ .
Одним из методов решения этих уравнений является метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень.
Пример. Найдите значения параметра a, при которых уравнение не имеет корней.
$\sqrt{2 𝑥^{2} + 𝑎 𝑥 + 2 𝑎 + 10} = 𝑥 -$
$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} 2 𝑥^{2} + 𝑎 𝑥 + 2 𝑎 + 10 = {(𝑥 - 1)}^{2}, \\ 𝑥 \geq 1, \end{matrix}$
$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} 𝑥^{2} + (𝑎 + 2) 𝑥 + 2 𝑎 + 9 = 0, \\ 𝑥 \geq 1 . \end{matrix}$
1. Уравнение не имеет корней. $𝐷 < 0$ , $𝑎 \in (- 4; 8)$ .
2. Уравнение имеет корни. $𝑥_{1} \leq 𝑥_{2} < 1$ , $𝑎 \in (8; + \infty)$ .
  Объединяем результаты: $𝑎 \in (- 4; + \infty)$

Было полезно?