Облако знаний. Иррациональные уравнения с параметром. Математика. 11 класс

Иррациональные уравнения с параметром

Иррациональными уравнениями с параметром называются уравнения, содержащие переменную под знаком корня (при этом степень корня может быть произвольной) или под знаком возведения в дробную степень, а также буквенный коэффициент (обычно обозначаемый буквой a). Значение параметра не определяется точно, так как оно зависит от условий задачи и может включать множество значений.
При решении уравнения необходимо учитывать, что $\sqrt{x}$ определён при $x \geq 0$ .
Одним из методов решения этих уравнений является метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень.
Пример. Найдите значения параметра a, при которых уравнение
$\sqrt{2 x^{2} + a x + 2 a + 10} = x - 1$
не имеет корней.

Решение. Возведём обе части уравнения в квадрат и выполним преобразования. Получим:

$\{\begin{matrix} 2 x^{2} + a x + 2 a + 10 = {(x - 1)}^{2}, \\ x \geq 1, \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x^{2} + (a + 2) x + 2 a + 9 = 0, \\ x \geq 1 . \end{matrix}$

Уравнение не имеет корней. $D < 0$ , $a \in (- 4; 8)$ .

Уравнение имеет корни. $x_{1} \leq x_{2} < 1$ , $a \in (8; + \infty)$ .

Объединяем результаты.

Ответ. $a \in (– 4; + \infty)$ .

Было полезно?