Облако знаний. Иррациональные неравенства с параметром. Математика. 11 класс

Иррациональные неравенства с параметром

Иррациональное неравенство с параметром — это неравенство, в котором переменная содержится под знаком корня, а некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены параметрами (буквами).
Некоторые методы решения иррациональных неравенств с параметром:
- возведение обеих частей неравенства в степень;
- замена переменной;
- использование свойств функций;
- метод интервалов.
При решении иррационального неравенства с параметром необходимо учитывать равносильность переходов и условие, что $\sqrt{x}$ определён при $x \geq 0 .$
Пример. Найдите все значения параметра a, при которых неравенство выполняется для любого допустимого x $\sqrt{x + 1} < \sqrt{x^{2} a x + x + a^{2}}$ .
Решение. Данное неравенство равносильно системе:
$\{\begin{matrix} x \geq - 1, \\ x^{2} - 2 a x + a^{2} - 1 > 0; \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x \geq - 1, \\ x \in (– \infty; a - 1) \cup (a + 1; + \infty) . \end{matrix}$
Выполнение этих условий возможно только при $a + 1 < - 1$ , откуда $a < - 2$ .

Было полезно?