Математика • 11 класс

Иррациональные неравенства с параметром

Для решения иррационального неравенства с параметром необходимо:
- использовать равносильные переходы;
- учитывать, что $\sqrt{𝑥}$ определён при $𝑥 \geq 0$ ;
- пользоваться методом интервалов.
Пример. Найдите все значения параметра a, при которых неравенство выполняется для любого допустимого x.
$\sqrt{𝑥 + 1} < \sqrt{𝑥^{2} - 2 𝑎 𝑥 + 𝑥 + 𝑎^{2}}$ .
Данное неравенство равносильно системе:
$\{\begin{matrix} 𝑥 \geq - 1, \\ 𝑥^{2} - 2 𝑎 𝑥 + 𝑎^{2} - 1 > 0; \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} 𝑥 \geq - 1, \\ 𝑥 \in (- \infty; 𝑎 - 1) \cup (𝑎 + 1; + \infty) . \end{matrix}$
Выполнение этих условий возможно только при $𝑎 + 1 < - 1$ , откуда $𝑎 < - 2$ .

Было полезно?