Системы иррациональных уравнений и неравенств

• Основные методы решения систем иррациональных уравнений и неравенств:

  • последовательные упрощения равносильными преобразованиями;
  • замена переменной;
  • функционально-графический метод.

Пример 1. Решите систему неравенств

$\left\{\begin{array}{c}\sqrt{x+3}>x+1,\hfill \\ x\ge -2.\hfill \end{array}\right.$

Решим первое неравенство системы:

$\left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}x+1<0,\\ x+3\ge 0,\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{c}x+1\ge 0,\\ x+3>{\left(x+1\right)}^2;\end{array}\right.\end{array}\right.$ $\left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}x<-1,\\ x\ge -3,\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{c}x\ge -1,\\ -2<x<1;\end{array}\right.\end{array}\right.$ $\left[\begin{array}{c}-3\le x<-1,\\ -1\le x<1;\end{array}\right.$ $-3\le x<1.$

Вернёмся к исходной системе неравенств

$\left\{\begin{array}{c}\sqrt{x+3}>x+1,\hfill \\ x\ge -2;\hfill \end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{c}-3\le x<1,\hfill \\ x\ge -2;\hfill \end{array}\right.$ $-2\le x<1.$

Ответ. $[-2;1)$.

Пример 2. Решите систему уравнений

$\left\{\begin{array}{c}\sqrt{x-3}-y=0,\hfill \\ x=y+9.\hfill \end{array}\right.$

Ответ. $(12;3).$