Приближения для тригонометрических функций с помощью неравенств. Первый замечательный предел

• Если $𝑥\in \left(-\frac{\mathrm{\pi }}{2};\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$ и $𝑥\ne 0$, то справедливо неравенство:

$\cos 𝑥<\frac{\sin 𝑥}{𝑥}<1.$

• Для всех $𝑥\in ℝ$ справедливо неравенство:

$\left|\sin 𝑥\right|\le \left|𝑥\right|.$

• При $𝑥\in \left[0; \frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]$ справедливо неравенство:

$\sin 𝑥\le 𝑥\le \mathrm{tg} 𝑥.$

• Если $𝑥\to 0$, то $\frac{\sin 𝑥}{𝑥}\to 0$, то есть

$\underset{𝑥\to 0}{\lim } \frac{\sin 𝑥}{𝑥}=1.$

• Предел $\underset{𝑥\to 0}{\lim } \frac{\sin 𝑥}{𝑥}=1$ называется первым замечательным пределом.

• Следствия из первого замечательного предела:

  • $\underset{𝑥\to 0}{\lim } \frac{\sin \mathrm{\alpha }𝑥}{\sin \mathrm{\beta }\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{\alpha }}{\mathrm{\beta }}.$

  • $\underset{𝑥\to 0}{\lim } \frac{\mathrm{tg} 𝑥}{𝑥}=1.$

  • $\underset{𝑥\to 0}{\lim } \frac{1-\cos 𝑥}{{𝑥}^2}=1.$

  • $\underset{𝑥\to 0}{\lim } \frac{\arcsin 𝑥}{𝑥}=1.$

  • $\underset{𝑥\to 0}{\lim } \frac{\mathrm{arctg} 𝑥}{𝑥}=1.$