Облако знаний. Логарифмические неравенства с параметром. Математика. 11 класс

Логарифмические неравенства с параметром

При решении логарифмических неравенств с параметром применяются те же методы, что и при решении рациональных и иррациональных неравенств.
Если все выражения удаётся свести к одному основанию, то можно использовать следующие схемы:
- если $𝑎 > 1$ , то $\log_{𝑎} 𝑓 (𝑥) \leq \log_{𝑎} 𝑔 (𝑥) \Leftrightarrow \{\begin{matrix} 𝑓 (𝑥) \leq 𝑔 (𝑥), \\ 𝑓 (𝑥) > 0 . \end{matrix}$
- если $0 < 𝑎 < 1$ , то $\log_{𝑎} 𝑓 (𝑥) \leq \log_{𝑎} 𝑔 (𝑥) \Leftrightarrow \{\begin{matrix} 𝑓 (𝑥) \geq 𝑔 (𝑥), \\ 𝑔 (𝑥) > 0 . \end{matrix}$
Пример. Для каждого значения параметра a решить неравенство.
$\log_{𝑎} (𝑥^{2} + 2 𝑥) < 0$ .
Решение. После нахождения ОДЗ, получаем два неравенства, которые равносильны совокупности двух систем неравенств $\{\begin{matrix} 1 > 𝑥^{2} + 2 𝑥 > 0, \\ 𝑎 > 1 \end{matrix}$
и $\{\begin{matrix} 𝑥^{2} + 2 𝑥 > 1, \\ 0 < 𝑎 < 1 . \end{matrix}$ Далее решаются эти системы.
Ответ. При $𝑎 \leq 0, 𝑎 = 1$ решений нет;
если $0 < 𝑎 < 1$ , то $𝑥 \in (- \infty; - 1 - \sqrt{2}) \cup (- 1 + \sqrt{2}; + \infty)$ ;
если $𝑎 > 1$ , то $𝑥 \in (- 1 - \sqrt{2}; - 2) \cup (0; - 1 + \sqrt{2})$ .

Было полезно?