Облако знаний. Логарифмические неравенства с параметром. Математика. 11 класс

Логарифмические неравенства с параметром

Логарифмические неравенства с параметром — это неравенства, в которых помимо неизвестной величины присутствуют параметры.
Некоторые методы решения логарифмических неравенств с параметром:
- освобождение от знака логарифма;
- учёт монотонности логарифмической функции;
- определение контрольных значений параметра.
Если все выражения удаётся свести к одному основанию, то можно использовать следующие схемы:
- если $a > 1$ , то $\log_{a} f (x) \leq \log_{a} g (x) \Leftrightarrow \{\begin{matrix} f (x) \leq g (x), \\ f (x) > 0 . \end{matrix}$
- если $0 < a < 1$ , то $\log_{a} f (x) \leq \log_{a} g (x) \Leftrightarrow \{\begin{matrix} f (x) \geq g (x), \\ g (x) > 0 . \end{matrix}$
Пример. Для каждого значения параметра a решить неравенство $\log_{a} (x^{2} + 2 x) < 0 .$
Решение. После нахождения ОДЗ, получаем два неравенства, которые равносильны совокупности двух систем неравенств $\{\begin{matrix} 1 > x^{2} + 2 x > 0, \\ a > 1 \end{matrix}$ и $\{\begin{matrix} x^{2} + 2 x > 1, \\ 0 < a < 1 . \end{matrix}$

Далее решаются эти системы.

Рассмотрим все возможные случаи при различном значении параметра:

если $a \leq 0, a = 1$ , то решений нет;
если $0 < a < 1$ , то $x \in (- \infty; - 1 - \sqrt{2}) \cup (- 1 + \sqrt{2}; + \infty)$ ;
если $a > 1$ , то $x \in (- 1 - \sqrt{2}; - 2) \cup (0; - 1 + \sqrt{2})$ .

Было полезно?