Логарифмические неравенства с параметром

• освобождение от знака логарифма;
• учёт монотонности логарифмической функции;
• определение контрольных значений параметра.

• если $a>1$, то ${\log }_a f \left(x\right)\le {\log }_a g \left(x\right)\iff \left\{\begin{array}{c}f \left(x\right)\le g \left(x\right)\text{,}\hfill \\ f \left(x\right)>0.\hfill \end{array}\right.$

• если $0<a<1$, то ${\log }_a f \left(x\right)\le {\log }_a g \left(x\right)\iff \left\{\begin{array}{c}f \left(x\right)\ge g \left(x\right),\hfill \\ g \left(x\right)>0.\hfill \end{array}\right.$

Пример. Для каждого значения параметра a решить неравенство ${\log }_a \left(x^2+2x\right)<0.$
Решение. После нахождения ОДЗ, получаем два неравенства, которые равносильны совокупности двух систем неравенств $\left\{\begin{array}{c}1>x^2+2x>0,\hfill \\ a>1\hfill \end{array}\right.$ и $\left\{\begin{array}{c}{x}^2+2x>1,\hfill \\ 0<a<1.\hfill \end{array}\right.$

Далее решаются эти системы.

Рассмотрим все возможные случаи при различных значениях параметра:

• если $a\le 0, a=1$, то решений нет;

• если $0<a<1$, то $x\in \left(-\infty ;-1-\sqrt{2}\right)\cup \left(-1+\sqrt{2}; +\infty \right)$;

• если $a>1$, то $x\in \left(-1-\sqrt{2};-2\right)\cup \left(0;-1+\sqrt{2}\right)$.