Производная частного функций

• Если функции $𝑢\left(𝑥\right)$ и $𝑣\left(𝑥\right)$ имеют производную в точке x и в этой точке $𝑣\left(𝑥\right)\ne 0$, то их частное $𝑓\left(𝑥\right)=\frac{𝑢\left(𝑥\right)}{𝑣\left(𝑥\right)}$ также имеет производную в этой точке, равную:

${𝑓}^{\prime }\left(𝑥\right)=\frac{{𝑢}^{\prime }\left(𝑥\right)𝑣\left(𝑥\right)-𝑢\left(𝑥\right){𝑣}^{\prime }\left(𝑥\right)}{{𝑣}^2\left(𝑥\right)}.$

• Коротко это равенство записывают так:

${\left(\frac{𝑢}{𝑣}\right)}^{\prime }=\frac{{𝑢}^{\prime }𝑣-𝑢𝑣\prime }{{𝑣}^2}.$

• Пример.

  ${\left(\frac{𝑥-2}{𝑥+2}\right)}^{\prime }=\frac{{\left(𝑥-2\right)}^{\prime }\left(𝑥+2\right)-\left(𝑥-2\right)\left(𝑥+2\right)\prime }{{\left(𝑥+2\right)}^2}=\frac{𝑥+2-\left(𝑥-2\right)}{{\left(𝑥+2\right)}^2}=\frac{4}{{\left(𝑥+2\right)}^2}.$