Производная произведения функций

• Если функции $𝑦=𝑢\left(𝑥\right)$ и $𝑦=𝑣\left(𝑥\right)$ имеют производную в точке x, то и их произведение $𝑓\left(𝑥\right)=𝑢\left(𝑥\right)\cdot 𝑣\left(𝑥\right)$ также имеет производную в этой точке, равную:

${𝑓}^{\prime }\left(𝑥\right)={𝑢}^{\prime }\left(𝑥\right)𝑣\left(𝑥\right)+𝑢\left(𝑥\right){𝑣}^{\prime }\left(𝑥\right).$

• Коротко это равенство записывают так:

${\left(𝑢𝑣\right)}^{\prime }={𝑢}^{\prime }𝑣+𝑢{𝑣}^{\prime }.$

• Пример. ${\left(𝑥\cdot \left({𝑥}^4+{𝑥}^2-1\right)\right)}^{\prime }={𝑥}^{\prime }\cdot \left({𝑥}^4+{𝑥}^2-1\right)+𝑥\cdot {\left({𝑥}^4+{𝑥}^2-1\right)}^{\prime }=$

  $=1\cdot \left({𝑥}^4+{𝑥}^2-1\right)+𝑥\cdot \left(4{𝑥}^3+2𝑥\right)={𝑥}^4+{𝑥}^2-1+4{𝑥}^4+2{𝑥}^2=5{𝑥}^4+3{𝑥}^2-1.$