Производная композиции функций

• Если функции $𝑦=𝑓\left(𝑥\right)$ и $𝑦=𝑔\left(𝑥\right)$ имеют производную в точке x, то и их сумма имеет производную в точке x, причем производная суммы равна сумме производных:

${\left(𝑓\left(𝑥\right)+𝑔\left(𝑥\right)\right)}^{\prime }={𝑓}^{\prime }\left(𝑥\right)+𝑔\prime \left(𝑥\right)$.

• Если функция $𝑦=𝑓\left(𝑥\right)$ имеют производную в точке x, то и функция $𝑦=𝑘𝑓\left(𝑥\right)$ имеет производную в точке x:

${\left(𝑘𝑓\left(𝑥\right)\right)}^{\prime }=𝑘𝑓\prime \left(𝑥\right)$.

• Если функции $𝑦=𝑓\left(𝑥\right)$ и $𝑦=𝑔\left(𝑥\right)$ имеют производную в точке x, то и их произведение имеет производную в точке x:

${\left(𝑓\left(𝑥\right)𝑔\left(𝑥\right)\right)}^{\prime }={𝑓}^{\prime }\left(𝑥\right)𝑔\left(𝑥\right)+𝑓\left(𝑥\right)𝑔\prime \left(𝑥\right)$.

• Если функции $𝑦=𝑓\left(𝑥\right)$ и $𝑦=𝑔\left(𝑥\right)$ имеют производную в точке x и в этой точке $𝑔\left(𝑥\right)\ne 0$, то и частное $\frac{𝑓\left(𝑥\right)}{𝑔\left(𝑥\right)}$ имеет производную в точке x:

${\left(\frac{𝑓\left(𝑥\right)}{𝑔\left(𝑥\right)}\right)}^{\prime }=\frac{{𝑓}^{\prime }\left(𝑥\right)𝑔\left(𝑥\right)-𝑓\left(𝑥\right)𝑔\prime \left(𝑥\right)}{{𝑔}^2\left(𝑥\right)}$.

• Производная функции $𝑦=𝑓(𝑘𝑥+𝑚)$ вычисляется по формуле

${\left(𝑓\left(𝑘𝑥+𝑚\right)\right)}^{\prime }=𝑘𝑓\prime (𝑘𝑥+𝑚)$.