Применение свойств непрерывных функций для решения задач

Если функция $𝑓\left(𝑥\right)$ непрерывна на интервале $\left(𝑎;𝑏\right)$ и не обращается в ноль на этом интервале, то $𝑓\left(𝑥\right)$ сохраняет на нём постоянный знак.

Пример. Доказать, что уравнение ${𝑥}^4+{𝑥}^3-2𝑥-5=0$ имеет хотя бы один вещественный корень на отрезке $\left[-2;1\right]$.

Решение. Вычислим значения функции $𝑓\left(𝑥\right)={𝑥}^4+{𝑥}^3-2𝑥-5$ при $𝑥=-2$ и $𝑥=1$: $𝑓\left(-2\right)=7>0$; $𝑓\left(1\right)=-5<0$. Получим, что функция на концах интервала принимает значения разных знаков, следовательно, уравнение имеет по меньшей мере один вещественный корень в данном интервале.