Производная функции

• Пусть функция $\mathrm{𝑦}=\mathrm{𝑓}\left(\mathrm{𝑥}\right)$ определена в точках ${\mathrm{𝑥}}_0$ и ${\mathrm{𝑥}}_1$. Разность ${\mathrm{𝑥}}_1-{\mathrm{𝑥}}_0$ называют приращением аргумента ($∆\mathrm{𝑥}$) (при переходе от точки ${\mathrm{𝑥}}_0$ к ${\mathrm{𝑥}}_1$), а разность $\mathrm{𝑓}\left({\mathrm{𝑥}}_1\right)-\mathrm{𝑓}\left({\mathrm{𝑥}}_0\right)$ – приращением функции ($∆\mathrm{𝑦}$ или $∆\mathrm{𝑓}$).

$∆\mathrm{𝑦}=\mathrm{𝑓}\left({\mathrm{𝑥}}_0+∆\mathrm{𝑥}\right)-\mathrm{𝑓}\left({\mathrm{𝑥}}_0\right)$.

• Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

$\underset{∆\mathrm{𝑥}\to 0}{\lim } \frac{∆\mathrm{𝑦}}{∆\mathrm{𝑥}}={\mathrm{𝑓}}^{\prime }\left(\mathrm{𝑥}\right)=\mathrm{𝑦}\prime$.