Равносильные переходы в логарифмических уравнениях

• Теорема. Пусть a ＞ 0, a ≠ 1. Если ${\log }_{𝑎} {𝑥}_1={\log }_{𝑎} {𝑥}_2$, то ${𝑥}_1={𝑥}_2$, и наоборот, если ${𝑥}_1>0, {𝑥}_2>0$ и ${𝑥}_1={𝑥}_2$, то ${\log }_{𝑎} {𝑥}_1={\log }_{𝑎} {𝑥}_2$.

  Следствие. Пусть a ＞ 0, a ≠ 1. Уравнение ${\log }_{𝑎} 𝑓\left(𝑥\right)={\log }_{𝑎} 𝑔\left(𝑥\right)$ равносильно любой из систем

$\left\{\begin{array}{c}𝑓\left(𝑥\right)=𝑔\left(𝑥\right),\\ 𝑓\left(𝑥\right)>0\end{array}\right.$ или $\left\{\begin{array}{c}𝑓\left(𝑥\right)=𝑔\left(𝑥\right),\\ 𝑔\left(𝑥\right)>0.\end{array}\right.$

• Пример. Решите уравнение ${\log }_3 (2-𝑥)={\log }_9 {𝑥}^4$.

  ${\log }_3 (2-𝑥)={\log }_{3^2} {𝑥}^4$

  ${\log }_3 (2-𝑥)={\log }_3 {𝑥}^2$

  $\left\{\begin{array}{c}2-𝑥={𝑥}^2,\\ {𝑥}^2>0\end{array}\right.$

  $\left\{\begin{array}{c}{𝑥}^2+𝑥-2=0,\\ 𝑥\ne 0\end{array}\right.$

  ${𝑥}_1=-2, {𝑥}_2=1.$

  Ответ: –2; 1.