Математика • 10 класс

Методы решения логарифмических уравнений

Методы решения логарифмических уравнений:
- по определению логарифма;
- замена переменной;
- равносильные переходы;
- графический метод.

Пример 1 (замена переменной)	Пример 2 (равносильные переходы)
Решите уравнение $\log_{2}^{2} (𝑥 + 5) - 2 \log_{2} (𝑥 + 5) = - 1$ . Пусть $\log_{2} (𝑥 + 5) = 𝑡$ , тогда $\log_{2}^{2} (𝑥 + 5) = 𝑡^{2}$ . $𝑡^{2} - 2 𝑡 + 1 = 0$ , $𝑡 = 1$ . Обратная замена: $\log_{2} (𝑥 + 5) = 1$ , по определению логарифма, $𝑥 + 5 = 2^{1}$ , $𝑥 = - 3$ . Ответ: $- 3$ .	Решите уравнение $\log_{𝑥^{2}} 16 - \log_{\sqrt{𝑥}} 7 = 2$ . $\log_{𝑥^{2}} 16 = \log_{\sqrt{𝑥}} 7 + 2$ , $\log_{𝑥^{2}} 16 = \log_{\sqrt{𝑥}} 7 + \log_{\sqrt{𝑥}} {(\sqrt{𝑥})}^{2}$ , $\log_{𝑥^{2}} 16 = \log_{\sqrt{𝑥}} (7 \cdot {(\sqrt{𝑥})}^{2})$ , $\log_{𝑥} 4 = \log_{𝑥} 49 𝑥^{2},$ $\{\begin{matrix} 4 = 49 𝑥^{2}, \\ 𝑥 > 0 \end{matrix}$ $\{\begin{matrix} 𝑥^{2} = \frac{4}{49}, \\ 𝑥 > 0 \end{matrix}$ $\{\begin{matrix} [\begin{matrix} 𝑥 = \frac{2}{7}, \\ 𝑥 = - \frac{2}{7}, \end{matrix} \\ 𝑥 > 0, \end{matrix}$ $𝑥 = \frac{2}{7}$ . Ответ: $\frac{2}{7}$ .

Пример 1 (замена переменной)

Пример 2 (равносильные переходы)

Решите уравнение $\log_{2}^{2} (𝑥 + 5) - 2 \log_{2} (𝑥 + 5) = - 1$ .

Пусть $\log_{2} (𝑥 + 5) = 𝑡$ , тогда $\log_{2}^{2} (𝑥 + 5) = 𝑡^{2}$ .

$𝑡^{2} - 2 𝑡 + 1 = 0$ ,

$𝑡 = 1$ .

Обратная замена:

$\log_{2} (𝑥 + 5) = 1$ ,

по определению логарифма,

$𝑥 + 5 = 2^{1}$ ,

$𝑥 = - 3$ .

Ответ: $- 3$ .

Решите уравнение $\log_{𝑥^{2}} 16 - \log_{\sqrt{𝑥}} 7 = 2$ .

$\log_{𝑥^{2}} 16 = \log_{\sqrt{𝑥}} 7 + 2$ , $\log_{𝑥^{2}} 16 = \log_{\sqrt{𝑥}} 7 + \log_{\sqrt{𝑥}} {(\sqrt{𝑥})}^{2}$ ,

$\log_{𝑥^{2}} 16 = \log_{\sqrt{𝑥}} (7 \cdot {(\sqrt{𝑥})}^{2})$ , $\log_{𝑥} 4 = \log_{𝑥} 49 𝑥^{2},$

$\{\begin{matrix} 4 = 49 𝑥^{2}, \\ 𝑥 > 0 \end{matrix}$

$\{\begin{matrix} 𝑥^{2} = \frac{4}{49}, \\ 𝑥 > 0 \end{matrix}$

$\{\begin{matrix} [\begin{matrix} 𝑥 = \frac{2}{7}, \\ 𝑥 = - \frac{2}{7}, \end{matrix} \\ 𝑥 > 0, \end{matrix}$

$𝑥 = \frac{2}{7}$ .

Ответ: $\frac{2}{7}$ .

Было полезно?