Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным

• Алгоритм решения тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным:

  1. преобразование уравнения с помощью тригонометрических формул, если необходимо – выражение одной тригонометрической функции через другую;
  2. замена неизвестного и переход к квадратному уравнению;
  3. решение квадратного уравнения;
  4. обратная замена и решение простейшего тригонометрического уравнения.

Пример. Решить уравнение sin x – 3 cos 2x = 2.

• cos 2x = 1 – 2 sin² x ⟹ sin x – 3(1 – 2 sin² x) = 2; 6 sin² x + sin x – 5 = 0;
• sin x = t ⟹ 6 t² + sin t – 5 = 0;

• ${𝑡}_1=-1, {𝑡}_2=\frac{5}{6}$;

• $\left[\begin{array}{c}\sin 𝑥=-1,\\ \sin 𝑥=\frac{5}{6}.\end{array}\right.$ ⟹ $\left[\begin{array}{c}𝑥=-\frac{\mathrm{\pi }}{2}+2\pi 𝑛,\\ 𝑥={\left(-1\right)}^{𝑛}\arcsin \frac{5}{6}+\pi 𝑛, 𝑛 ϵ Z.\end{array}\right.$

Ответ: $-\frac{\mathrm{\pi }}{2}+2\mathrm{\pi }𝑛$, ${\left(-1\right)}^{𝑛}\arcsin \frac{5}{6}+\mathrm{\pi }𝑛, 𝑛 \mathrm{ϵ} \mathrm{Z}$.