Метод математической индукции

• Метод математической индукции используется для доказательства утверждений, зависящих от натурального аргумента.
• Для доказательства, что утверждение справедливо для любого натурального n нужно выполнить следующие действия:

  1. доказать, что утверждение справедливо для $𝑛=1$;

  2. считая, что утверждение справедливо для $𝑛=𝑘$, доказать его справедливость для $𝑛=𝑘+1$.

Пример.

Докажем, что для любого натурального n выполняется равенство:

$1+3+5+\dots +\left(2𝑛 -1\right)={𝑛}^2.$

Доказательство.

1. Проверим справедливость равенства для $𝑛=1:1=1^2.$

2. Пусть равенство справедливо для некоторого $𝑘$, то есть:

$1+3+5+\dots +\left(2𝑘 -1\right)={𝑘}^2$.

Используя это равенство, докажем справедливость утверждения для $𝑘+1$.

$1+3+5+\dots +\left(2𝑘 -1\right)+\left(2(𝑘+1\right)-1)={𝑘}^2+2𝑘+1={\left(𝑘+1\right)}^2.$

Таким образом равенство выполняется для $𝑘+1$, а, следовательно, оно выполняется для любого натурального $𝑛$.