Линейные неравенства с модулями

• Неравенства вида $\left|f \left(x\right)\right|<g \left(x\right)$ решаются по схеме:

$\left|f \left(x\right)\right|<g \left(x\right)⟹-g \left(x\right)<f \left(x\right)<g \left(x\right)⟹\left\{\begin{array}{c}f \left(x\right)<g \left(x\right),\\ f \left(x\right)>-g \left(x\right).\end{array}\right.$

• Неравенства вида $\left|f \left(x\right)\right|>g \left(x\right)$ решаются по схеме:

$\left|f \left(x\right)\right|>g \left(x\right)⟹\left[\begin{array}{c}f \left(x\right)>g \left(x\right),\\ f \left(x\right)<-g \left(x\right).\end{array}\right.$

• При решении неравенств вида $\left|f \left(x\right)\right|>\left|g \left(x\right)\right|$ необходимо возводить обе части неравенства в квадрат: ${\left(\left|f \left(x\right)\right|\right)}^2 = {\left(f \left(x\right)\right)}^2$.

• Алгоритм решения неравенств с модулями методом интервалов:

  • выписать все выражения, находящиеся под модулем, и приравнять их к нулю;
  • решить полученные уравнения и отметить найденные корни на одной числовой прямой;
  • прямая разобьётся на несколько участков, внутри которого каждый модуль имеет фиксированный знак и потому однозначно раскрывается;
  • решить неравенство на каждом таком интервале путём подстановки любого значения, лежащего внутри этого интервала;
  • результаты объединить — это ответ.