Квадратное уравнение с параметром

• Квадратное уравнение с параметром или квадратное уравнение с буквенными коэффициентами – это квадратные уравнения, у которых в роли коэффициентов выступают не конкретные числа, а буквенные выражения.

Пример. Решить уравнение $𝑝{𝑥}^2+\left(1-𝑝\right)𝑥-1=0$.

Если $𝑝=0$, то уравнение имеет вид $0\cdot {𝑥}^2+\left(1-0\right)𝑥-1=0$, то есть $𝑥-1=0$, откуда $𝑥=1$.

Если $𝑝\ne 0$, то можно применить формулу корней квадратного уравнения.

Найдем дискриминант:

$𝐷={(1-𝑝)}^2- 4\cdot 𝑝\cdot \left(-1\right)=1-2𝑝+{𝑝}^2+4𝑝={(𝑝+1)}^2$.

Далее,

${𝑥}_1=\frac{-\left(1-𝑝\right)+\sqrt{{(𝑝+1)}^2}}{2𝑝}=\frac{𝑝-1+(𝑝+1)}{2𝑝}=\frac{2𝑝}{2𝑝}=1$;

${𝑥}_2=\frac{-\left(1-𝑝\right)-\sqrt{{(𝑝+1)}^2}}{2𝑝}=\frac{𝑝-1-(𝑝+1)}{2𝑝}=\frac{-2}{2𝑝}=-\frac{1}{𝑝}$.

Ответ: если $𝑝=0$, то $𝑥=1$; если $𝑝\ne 0\text{,}$ то ${𝑥}_1=1$, ${𝑥}_2=-\frac{1}{𝑝}\text{.}$