Математика • 11 класс

Решение показательных неравенств методом замены переменных

Метод замены переменных позволяет упростить решение показательных неравенств, приводя их к более простым формам.
Алгоритм решения показательных неравенств методом замены переменных:
- преобразовать неравенство, чтобы выделить повторяющееся выражение;
- ввести новую переменную t, равную этому повторяющемуся выражению;
- решить полученное алгебраическое неравенство относительно t с учётом условия $t > 0$ ;
- вернуться к исходной переменной, подставив t в замену;
- решить полученное простейшее показательное неравенство.
Пример.
Решите неравенство $9^{x} + 27 < 12 \cdot 3^{x} .$
Преобразуем: ${(3^{x})}^{2} + 27 < 12 \cdot 3^{x} .$
Введём новую переменную: $3^{x} = t, t > 0 .$
Получаем: $t^{2} - 12 t + 27 < 0 .$
Решив квадратное неравенство, получим: $3 < t < 9 .$
Вернёмся к исходной переменной:
$3 < 3^{x} < 9; 1 < x < 2 .$
Ответ. $x \in (1; 2)$ .

Было полезно?