Облако знаний. Простейшие логарифмические неравенства. Математика. 11 класс

Простейшие логарифмические неравенства

Пусть a – данное положительное, не равное 1 число, b – данное действительное число. Тогда неравенства ${log}_{3} x > b$ и ${log}_{a} x < b$ называют простейшими логарифмическими неравенствами.
Примеры. Неравенства ${log}_{2} x > 3$ , ${log}_{0,5} x < 2,5$ .
Неравенства ${log}_{a} x > b$ и ${log}_{a} x < b$ можно переписать в виде ${log}_{a} x > {log}_{a} x_{0}$ и ${log}_{a} x < {log}_{a} x_{0}$ , где $x_{0} = a^{b}$ .
При $a > 1$ и любом действительном числе b множество всех решений неравенства ${log}_{a} x > {log}_{a} x_{0}$ есть интервал ( $x_{0}$ ; $+$ ∞), а множество всех решений неравенства ${log}_{a} x < {log}_{a} x_{0}$ есть интервал $(0; x_{0})$ .
При 0 ＜ a ＜ 1 и любом действительном числе b множество всех решений неравенства log_a x ＞ log_a x₀ есть интервал (0; x₀), а множество всех решений неравенства log_a x ＜ log_a x₀ есть интервал (x₀; +∞).
Пример. Решить неравенство $\log_{4} x > \frac{1}{2}$ .
Решение. $\frac{1}{2} = \log_{4} x ⟹ \log_{4} x > \log_{4} 2$ . Так как $4 > 1$ , то функция $y = {log}_{4}$ $x$ возрастающая.
Ответ. (2; $+$ ∞).

Было полезно?