Математическое ожидание и дисперсия биномиального распределения

• Биноминальное распределение:
  

  $P_{n }\left(k\right)= C_n^k·p^k·q^{n-k},$

  где $C_n^k= \frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}$, $p$ – вероятность «успеха», $q$ – вероятность «неудачи», $k$ – количество успешных исходов в $n$ независимых опытах.

  • Математическое ожидание: $M \left(X\right)=np$.

  • Дисперсия: $D \left(X\right)=$ $npq$.

• Пример. Троллейбус проезжает по маршруту с 38 остановками, на которых водитель остановится, если кто-то будет выходить или входить. Вероятность того, что на остановке будут входить или выходить пассажиры равна 0,8. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа остановок этого троллейбуса за один рейс.

• Решение. Пусть $X$ – число остановок этого троллейбуса за один рейс. $X$ – случайная величина биноминального распределения.

$M \left(X\right)=np=38\cdot \mathrm{0,8}=\mathrm{30,4}.$

$D \left(X\right)=$ $npq=38\cdot \mathrm{0,8}$ $\cdot 0,2=\mathrm{6,02}.$