Облако знаний. Выделение квадрата у квадратного трёхчлена. Математика. 8 класс

Выделением полного квадрата из квадратного трёхчлена $a x^{2} + b x + c$ называется тождественное преобразование, в результате которого трёхчлен приводится к виду $a {(x - x_{0})}^{2} + y_{0}$ , где $x_{0}$ ∈ ℤ, $y_{0}$ ∈ ℤ.
Выделение полного квадрата основывается на формулах квадрата суммы и квадрата разности: $a^{2} \pm 2 a b + b^{2} = {(a \pm b)}^{2}$ .
Квадратный трёхчлен $a x^{2} + b x + c$ при $x = - \frac{b}{2 a}$ принимает:
- наименьшее значение $a x^{2} + b x + c$ , если a ＞ 0;
- наибольшее значение $a x^{2} + b x + c$ , если a ＜ 0.
Если нужно найти наибольшее или наименьшее значение квадратного трёхчлена при x на отрезке [x₁; x₂] $,$ рассматриваются случаи:
- координата x принадлежит отрезку. Если $a > 0$ , то квадратный трёхчлен принимает наименьшее значение при $x = - \frac{b}{2 a}$ , а для нахождения наибольшего значения нужно рассмотреть значения трёхчлена в концах отрезка. Большее из них и будет наибольшим значением квадратного трёхчлена на отрезке. Если $a < 0$ , то наибольшее значение при $x = - \frac{b}{2 a}$ , а наименьшим значением будет наименьшее значение квадратного трёхчлена на отрезке;
- координата $x$ вершины параболы не принадлежит отрезку. Тогда для нахождения наибольшего и наименьшего значений трёхчлена нужно рассмотреть его значения в концах отрезка. Большее из них будет наибольшим значением трёхчлена на отрезке, а меньшее — наименьшим.

Пример. Выделите квадрат у квадратного трёхчлена $x^{2} + 6 x + 16$ .

$x^{2} + 6 x + 16 = x^{2} + 2 \cdot 3 \cdot x + 9 + 7 = {(x + 3)}^{2} + 7 .$