Облако знаний. Выделение квадрата у квадратного трёхчлена. Математика. 8 класс

Выделение полного квадрата основывается на формулах квадрата суммы и квадрата разности: $a^{2} \pm 2 a b + b^{2} = {(a \pm b)}^{2}$ .
Выделением полного квадрата из квадратного трёхчлена $a x^{2} + b x + c$ называется тождественное преобразование, в результате которого трёхчлен приводится к виду $a {(x - x_{0})}^{2} + y_{0}$ , где $x_{0}$ и $y_{0}$ – некоторые действительные числа.
Если $a > 0$ , то квадратный трёхчлен $a x^{2} + b x + c$ принимает наименьшее значение при $x = - \frac{b}{2 a}$ ; это наименьшее значение равно $\frac{4 a c - b^{2}}{4 a}$ .
Если $a < 0$ , то квадратный трёхчлен $a x^{2} + b x + c$ принимает наибольшее значение при $x = - \frac{b}{2 a}$ ; это наибольшее значение равно $\frac{4 a c - b^{2}}{4 a}$ .
При необходимости найти наибольшее или наименьшее значение квадратного трёхчлена при x, принадлежащих некоторому отрезку $[x_{1}; x_{2}],$ рассматриваются случаи:
- Координата x вершины параболы принадлежит отрезку. Если $a > 0$ , то квадратный трёхчлен принимает наименьшее значение при $x = - \frac{b}{2 a}$ , а для нахождения наибольшего значения нужно рассмотреть значения трёхчлена в концах отрезка. Большее из них и будет наибольшим значением квадратного трёхчлена на отрезке. Если $a < 0$ , то наибольшее значение при $x = - \frac{b}{2 a}$ , а наименьшим значением будет наименьшее значение квадратного трёхчлена на отрезке.
- Координата $x$ вершины параболы не принадлежит отрезку. Тогда для нахождения наибольшего и наименьшего значения трёхчлена нужно рассмотреть его значения в концах отрезка. Большее из них будет наибольшим значением трёхчлена на отрезке, а меньшее — наименьшим значением.
Пример. Выделите квадрат у квадратного трёхчлена $x^{2} + 6 x + 16$ .
Выделим квадрат $x^{2} + 6 x + 16 = x^{2} + 2 \cdot 3 \cdot x + 9 + 7 = {(x + 3)}^{2} + 7$ .