Облако знаний. Комбинированные системы уравнений. Математика. 11 класс

Основные методы решения смешанных систем уравнений:
- метод подстановки;
- метод сложения;
- равносильные преобразования;
- замена переменной;
- графический метод;
- применение свойств функций.
Пример 1. Решите систему уравнений $\{\begin{matrix} 2^{𝑥} + 𝑦 = 5, \\ 𝑥 - \log_{2} 𝑦 = 2 . \end{matrix}$
Воспользуемся методом подстановки: из второго уравнения системы выразим $𝑥 = 2 + \log_{2} 𝑦$ и подставим в первое уравнение:
$2^{2 + \log_{2} 𝑦} + 𝑦 = 5$ , $\overset{}{\Rightarrow} 2^{2} \cdot 2^{\log_{2} 𝑦} + 𝑦 = 5$ , $\overset{}{\Rightarrow} 4 𝑦 + 𝑦 = 5$ , $\overset{}{\Rightarrow} 𝑦 = 1$ .
Найдём значение переменной x:
$𝑥 = 2 + \log_{2} 1$ , $\overset{}{\Rightarrow} 𝑥 = 2$ . $\overset{}{\Rightarrow} \{\begin{matrix} 𝑥 = 2, \\ 𝑦 = 1 . \end{matrix}$
Ответ: (2; 1).
Пример 2. Решите систему уравнений $\{\begin{matrix} 𝑥 𝑦 = 3, \\ 𝑥^{2} + 𝑦^{2} = 10 . \end{matrix}$ Воспользуемся методом сложения, предварительно умножив первое уравнение на 2:
$\{\begin{matrix} 2 𝑥 𝑦 = 6, \\ 𝑥^{2} + 𝑦^{2} = 10 . \end{matrix}$
$𝑥^{2} + 2 𝑥 𝑦 + 𝑦^{2} = 10 + 6$ , ${(𝑥 + 𝑦)}^{2} = 16$ , ⇒ $𝑥 + 𝑦 = \pm 4$ , ⇒ $\{\begin{matrix} 𝑥 𝑦 = 3, \\ 𝑥 = \pm 4 - 𝑦 \end{matrix}$ ⇒ $\{\begin{matrix} 𝑦 = \frac{3}{𝑥}, \\ 𝑥 = \pm 4 - 𝑦 \end{matrix}$ ⇒ $\{\begin{matrix} 𝑦 = 1, \\ 𝑥 = 4 - 𝑦; \end{matrix}$ $\{\begin{matrix} 𝑦 = 3, \\ 𝑥 = 4 - 𝑦; \end{matrix}$ ⇒ $\{\begin{matrix} 𝑦 = - 1, \\ 𝑥 = - 4 - 𝑦; \end{matrix}$ $\{\begin{matrix} 𝑦 = - 3, \\ 𝑥 = - 4 - 𝑦 . \end{matrix}$ ⇒ $\{\begin{matrix} 𝑥 = 3, \\ 𝑦 = 1; \end{matrix}$ $\{\begin{matrix} 𝑥 = 1, \\ 𝑦 = 3; \end{matrix}$ $\{\begin{matrix} 𝑥 = - 3, \\ 𝑦 = - 1; \end{matrix}$ $\{\begin{matrix} 𝑥 = - 1, \\ 𝑦 = - 3 . \end{matrix}$
Ответ: (3; 1), (1; 3), (–3; –1), (–1, –3).