Тригонометрические уравнения, содержащие модули

Модуль в таких уравнениях раскрывается по определению: если выражение под модулем больше или равно нулю, то модуль раскрывается с тем же знаком, если меньше нуля – с противоположным.

Пример. Решите уравнение $2 {\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}}^{2}x=\left|\text{sin} x\right|.$

Решение. Раскроем знак модуля, получим две системы:

$\left\{\begin{array}{c}\sin x\ge 0,\hfill \\ 2 {\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}}^{2}x=\sin x\hfill \end{array}\right.$ или $\left\{\begin{array}{c}\sin x<0,\hfill \\ 2 {\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}}^{2}x=-\sin x.\hfill \end{array}\right.$

Решим их и получим: $x_1=πn,$ n ∈ ℤ;$x_2=$ $\pm \frac{\mathrm{\pi }}{6}+πn,$ n ∈ ℤ.

Ответ. $πn;\pm \frac{\mathrm{\pi }}{6}+πn,$ n ∈ ℤ.