Облако знаний. Равносильность переходов в иррациональных неравенствах. Математика. 11 класс

Равносильность переходов в иррациональных неравенствах

Неравенство вида $\sqrt{𝑓 (𝑥)} > \sqrt{𝑔 (𝑥)}$ равносильно системе $\{\begin{matrix} 𝑓 (𝑥) > 𝑔 (𝑥), \\ 𝑔 (𝑥) \geq 0 . \end{matrix}$
Пример. Решите неравенство $\sqrt{8 - 5 𝑥} \geq \sqrt{𝑥^{2} - 16} .$
$\{\begin{matrix} 8 - 5 𝑥 \geq 𝑥^{2} - 16, \\ 𝑥^{2} - 16 \geq 0 . \end{matrix}$
Отсюда $\{\begin{matrix} 𝑥^{2} + 5 𝑥 - 24 \leq 0, \\ 𝑥^{2} - 16 \geq 0; \end{matrix} \{\begin{matrix} - 8 \leq 𝑥 \leq 3, \\ [\begin{matrix} 𝑥 \leq - 4, \\ 𝑥 \geq 4; \end{matrix} \end{matrix} - 8 \leq 𝑥 \leq - 4$ .
Ответ: $[- 8; - 4]$ .
Неравенство вида $\sqrt{𝑓 (𝑥)} < 𝑔 (𝑥)$ равносильно системе $\{\begin{matrix} 𝑓 (𝑥) < {(𝑔 (𝑥))}^{2}, \\ 𝑔 (𝑥) > 0, \\ 𝑓 (𝑥) \geq 0 . \end{matrix}$
Пример. Решите неравенство $\sqrt{9 𝑥 - 20} < 𝑥$ .
$\{\begin{matrix} 9 𝑥 - 20 < 𝑥^{2}, \\ 𝑥 > 0, \\ 9 𝑥 - 20 \geq 0 . \end{matrix}$
Отсюда $\{\begin{matrix} 𝑥^{2} - 9 𝑥 + 20 > 0, \\ 𝑥 > 0, \\ 𝑥 \geq 2 \frac{2}{9}; \end{matrix} \{\begin{matrix} [\begin{matrix} 𝑥 < 4, \\ 𝑥 > 5 \end{matrix} \\ 𝑥 > 0, \\ 𝑥 \geq 2 \frac{2}{9}; \end{matrix} 𝑥 \in [2 \frac{2}{9}; 4) \cup (5; + \infty) .$
Ответ: $[2 \frac{2}{9}; 4) \cup (5; + \infty)$ .
Неравенство вида $\sqrt{𝑓 (𝑥)} > 𝑔 (𝑥)$ равносильно совокупности систем
$[\begin{matrix} \{\begin{matrix} 𝑔 (𝑥) < 0, \\ 𝑓 (𝑥) \geq 0, \end{matrix} \\ \{\begin{matrix} 𝑔 (𝑥) \geq 0, \\ 𝑓 (𝑥) > {(𝑔 (𝑥))}^{2} . \end{matrix} \end{matrix}$

Было полезно?