Равносильность переходов в иррациональных неравенствах

Неравенство вида $\sqrt{f\left(x\right)}<g\left(x\right)$ равносильно системе

$\left\{\begin{array}{c}f\left(x\right)<{\left(g\left(x\right)\right)}^2,\hfill \\ g\left(x\right)>0,\hfill \\ f\left(x\right)\ge 0.\hfill \end{array}\right.$

Неравенство вида $\sqrt{f\left(x\right)}>g\left(x\right)$ равносильно совокупности систем

$\left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}g\left(x\right)<0,\\ f\left(x\right)\ge 0,\end{array}\right.\hfill \\ \left\{\begin{array}{c}g\left(x\right)\ge 0,\hfill \\ f\left(x\right)>{\left(g\left(x\right)\right)}^2.\hfill \end{array}\right.\hfill \end{array}\right.$

Пример. Решите неравенство $\sqrt{8-5x}\ge \sqrt{x^2-16}.$

Решение. Перейдём к равносильной системе. Получим: $\left\{\begin{array}{c}8-5x\ge x^2-16,\hfill \\ x^2-16\ge 0.\hfill \end{array}\right.$

Отсюда $\left\{\begin{array}{c}{x}^2+5x-24\le 0,\hfill \\ x^2-16\ge 0;\hfill \end{array}\right. \left\{\begin{array}{c}-8\le x\le 3,\hfill \\ \left[\begin{array}{c}x\le -4,\hfill \\ x\ge 4;\hfill \end{array}\right.\hfill \end{array}\right. -8\le x\le -4$.

Ответ. $[-8;-4]$.