Облако знаний. Решение иррациональных неравенств методом последовательных упрощений. Математика. 11 класс

Метод последовательных упрощений для решения иррациональных неравенств заключается в последовательном преобразовании неравенства с целью избавления от корней и приведения его к более простому виду, например, к равносильной системе или совокупности неравенств.
Основные принципы метода:
- возведение в степень;
Ключевое преобразование, требующее учета степени корня и условий равносильности.
- Равносильность;
Преобразования не должны вводить посторонние корни или терять решения.
- область допустимых значений (ОДЗ).
При решении иррациональных неравенств необходимо учитывать ОДЗ, особенно для корней четной степени, где подкоренное выражение и значение корня должны быть неотрицательными.
Пример. Решите неравенство $(x + 1) \sqrt{x^{2} + 1} \geq x^{2} - 1$ .

Решение. Преобразуем и упростим неравенство. Получим:

$(x + 1) \sqrt{x^{2} + 1} - (x^{2} - 1) \geq 0$ , $(x + 1) (\sqrt{x^{2} + 1} - (x - 1)) \geq 0$ , $(x + 1) (\sqrt{x^{2} + 1} - x + 1) \geq 0$ .

Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:

$\{\begin{matrix} x + 1 \geq 0, \\ \sqrt{x^{2} + 1} - x + 1 \geq 0; \end{matrix}$ $\{\begin{matrix} x \geq - 1, \\ \sqrt{x^{2} + 1} \geq x - 1; \end{matrix}$ $\{\begin{matrix} x \geq - 1, \\ [\begin{matrix} x - 1 < 0, \\ \{\begin{matrix} x - 1 \geq 0, \\ x^{2} + 1 \geq x^{2} - 2 x + 1; \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix}$ $\{\begin{matrix} x \geq - 1, \\ [\begin{matrix} x < 1, \\ \{\begin{matrix} x \geq 1, \\ x \geq 0; \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix}$ $\{\begin{matrix} x \geq - 1, \\ [\begin{matrix} x < 1, \\ x \geq 1; \end{matrix} \end{matrix}$ $x \geq - 1$ .

$\{\begin{matrix} x + 1 \leq 0, \\ \sqrt{x^{2} + 1} - x + 1 \leq 0; \end{matrix}$ $\{\begin{matrix} x \leq - 1, \\ \sqrt{x^{2} + 1} \leq x - 1; \end{matrix}$ $\{\begin{matrix} x \leq - 1, \\ x^{2} + 1 \leq x^{2} - 2 x + 1; \end{matrix}$ $\{\begin{matrix} x \geq - 1, \\ x \leq 0; \end{matrix}$ нет решений.

Ответ: $[- 1; + \infty)$ .