Облако знаний. Простейшие иррациональные неравенства. Математика. 11 класс

Простейшие иррациональные неравенства – это неравенства, содержащие переменную под знаком корня или в знаменателе дроби, которая сама является радикалом.
Решение иррациональных неравенств нужно свести к решению рациональных неравенств, используя основные свойства числовых неравенств и корня n-ой степени. Важно определить область допустимых значений переменной, при которых выражения имеют смысл.
Для корня чётной степени: подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
При возведении обеих частей неравенства в чётную степень необходимо учитывать знаки выражений, так как неравенство может поменять направление.
Если обе части неравенства возвести в нечётную степень, то получим неравенство, равносильное данному.
Пример 1. Решите неравенство $\sqrt{x + 4} > 2$ .
Решение 1. Найдём ОДЗ. Так как выражение под корнем должно быть неотрицательным, получим $x + 4 \geq 0, x \geq - 4$ . Избавимся от корня, возведём обе части неравенства в квадрат. Получим: $x + 4 > 4, x > 0$ . Пересечём решение с ОДЗ.
Ответ. $x \in (0; + \infty)$ .
Пример 2. Решите неравенство $\sqrt[5]{2 x - 7} > - 1$ .
Решение 2. Возведём обе части неравенства в пятую степень.
Получим: ${(\sqrt[5]{2 x - 7})}^{5} > {(- 1)}^{5}$ . Значит: $2 x - 7 > - 1; x > 3$ .
Ответ. $x \in (3; + \infty)$ .