Перестановки и размещения

• Факториал – это произведение всех натуральных чисел от 1 до n:
  

  $n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot n.$

• Факториал нуля равен единице: $0!=1$.

• Перестановками из n элементов называются комбинации из n элементов, отличающиеся друг от друга только порядком расположения в них элементов.
• Для нахождения значения перестановок без повторений используют формулу:

$P_n=n!.$

• Для нахождения значения перестановок с повторениями используют формулу:
  

  $P_n\left(n_1,n_2,\dots ,n_k\right)=\frac{n!}{{(n}_1)!\cdot {(n}_2)!\cdot \cdots \cdot {(n}_k)!}.$

  где n – общее количество объектов, $n_1, n_2, \dots , n_k$ – количество одинаковых элементов.

• Размещением из N элементов по k называют комбинацию, в которой любые k из этих элементов расположены в определённом порядке.

• Значение $A_N^k$ даёт число способов, которым можно выбрать k из N заданных элементов с учётом порядка, в котором их выбирают:

$A_N^k=\frac{N!}{\left(N-k\right)!}.$

• Два свойства размещений:

  • Размещения из N элементов по N – это перестановки из N элементов, поэтому
    

    $A_N^N=P_N=N!$

  • Размещений из N элементов по (N – 1) столько же, сколько размещений из N по N:
    

    ${A_N^{N-1}=A}_N^N=P_N=N!$