Решение показательных уравнений методом последовательных упрощений

Пример 1. Решите уравнение $2^{2x-4}=64.$
Решение. Приведём правую часть уравнения к такому же основанию, как в левой части: $64=2^6.$Перепишем заданное уравнение в виде $2^{2x-4}=2^6$. Это уравнение равносильно уравнению $2x-4=6;x=5.$
Ответ. 5.

Пример 2. Решите уравнение $7^{x+2}+4\cdot 7^{x+1}=539.$
Решение. Упростим выражение, чтобы вынести множитель за скобки. Получим:

$7^x\cdot 7^2+4\cdot 7^x\cdot 7=539;7^x\left(49+28\right)=539;7^x=\frac{539}{77};7^x=7;x=1.$

Пример 3. Решите уравнение $3\cdot 2^{2x}+\frac{1}{2}\cdot 9^{x+1}-6\cdot 4^{x+1}=-\frac{1}{3}\cdot 9^{x+2}.$
Решение. Соберём степени с разными основаниями в разных частях уравнения, а затем их сгруппируем:

$\frac{1}{2}\cdot 9^{x+1}+\frac{1}{3}\cdot 9^{x+2}=6\cdot 4^{x+1}-3\cdot 2^{2x};$

$\frac{1}{2}\cdot 9^x\cdot 9+\frac{1}{3}\cdot 9^x\cdot 9^2=6\cdot 4^x\cdot 4-3\cdot 4^x;$

$9^x\left(\frac{1}{2}\cdot 9+\frac{1}{3}\cdot 81\right)=4^x\left(6\cdot 4-3\right);9^x\cdot \mathrm{31,5}=4^x\cdot 21.$

${\left(\frac{4}{9}\right)}^x=\frac{3}{2}; {\left(\frac{2}{3}\right)}^{2x}={\left(\frac{2}{3}\right)}^{-1};2x=-1;x=-\mathrm{0,5}.$