Облако знаний. Решение показательных уравнений методом последовательных упрощений. Математика. 10 класс

Решение показательных уравнений методом последовательных упрощений

Решение показательных уравнений методом последовательных упрощений – один из методов решения показательных уравнений.
Упрощения могут быть следующие: приведение к одинаковому основанию, вынесение общего множителя за скобки, группировка, почленное деление на одну из степеней.
Пример 1. Решите уравнение $2^{2 x - 4} = 64 .$
Решение. Приведём правую часть уравнения к такому же основанию, как в левой части: $64 = 2^{6} .$ Перепишем заданное уравнение в виде $2^{2 x - 4} = 2^{6}$ . Это уравнение равносильно уравнению $2 x - 4 = 6; x = 5 .$
Ответ. 5.
Пример 2. Решите уравнение $7^{x + 2} + 4 \cdot 7^{x + 1} = 539 .$
Решение. Упростим выражение, чтобы вынести множитель за скобки. Получим:
$7^{x} \cdot 7^{2} + 4 \cdot 7^{x} \cdot 7 = 539; 7^{x} (49 + 28) = 539; 7^{x} = \frac{539}{77}; 7^{x} = 7; x = 1 .$
Ответ. 1.
Пример 3. Решите уравнение $3 \cdot 2^{2 x} + \frac{1}{2} \cdot 9^{x + 1} - 6 \cdot 4^{x + 1} = - \frac{1}{3} \cdot 9^{x + 2} .$
Решение. Соберём степени с разными основаниями в разных частях уравнения, а затем их сгруппируем:
$\frac{1}{2} \cdot 9^{x + 1} + \frac{1}{3} \cdot 9^{x + 2} = 6 \cdot 4^{x + 1} - 3 \cdot 2^{2 x};$
$\frac{1}{2} \cdot 9^{x} \cdot 9 + \frac{1}{3} \cdot 9^{x} \cdot 9^{2} = 6 \cdot 4^{x} \cdot 4 - 3 \cdot 4^{x};$
$9^{x} (\frac{1}{2} \cdot 9 + \frac{1}{3} \cdot 81) = 4^{x} (6 \cdot 4 - 3); 9^{x} \cdot 31,5 = 4^{x} \cdot 21 .$
Разделим обе части уравнения на одну из степеней. Получим:
${(\frac{4}{9})}^{x} = \frac{3}{2}; {(\frac{2}{3})}^{2 x} = {(\frac{2}{3})}^{- 1}; 2 x = - 1; x = - 0,5 .$
Ответ. $- 0,5$ .

Было полезно?