Облако знаний. Преобразование выражений, содержащих рациональные степени. Математика. 10 класс

Преобразование выражений, содержащих рациональные степени

Для преобразования выражений, содержащих рациональные степени, используют свойства степени и свойства арифметических операций.
Пример 1. Упростите выражение $\frac{x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{7}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} - x^{2}} + \frac{x^{- \frac{1}{2}} - x^{\frac{5}{2}}}{x + x^{- \frac{1}{2}}}$ .
$\frac{x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{7}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} - x^{2}} + \frac{x^{- \frac{1}{2}} - x^{\frac{5}{2}}}{x + x^{- \frac{1}{2}}} = \frac{x^{\frac{1}{2}} (1 - x^{3})}{x^{\frac{1}{2}} (1 - x^{\frac{3}{2}})} + \frac{x^{- \frac{1}{2}} (1 - x^{3})}{x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{3}{2}} + 1)} =$
$= \frac{x^{\frac{1}{2}} (1 - x^{3}) \cdot x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{3}{2}} + 1) + x^{- \frac{1}{2}} (1 - x^{3}) x^{\frac{1}{2}} (1 - x^{\frac{3}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} (1 - x^{\frac{3}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{3}{2}} + 1)} =$
$= \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} (1 - x^{3}) ((x^{\frac{3}{2}} + 1) + (1 - x^{\frac{3}{2}}))}{x^{\frac{1}{2}} (1 - x^{\frac{3}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{3}{2}} + 1)} = \frac{(1 - x^{3}) (x^{\frac{3}{2}} + 1 + 1 - x^{\frac{3}{2}})}{(1 - x^{\frac{3}{2}}) (x^{\frac{3}{2}} + 1)} =$
$= \frac{(1 - x^{3}) \cdot 2}{1 - {(x^{\frac{3}{2}})}^{2}} = 2 .$
Пример 2. Упростите выражение $\frac{{(b^{\sqrt{3} + 1})}^{\sqrt{3} - 1}}{b^{4 - \sqrt{5}} \cdot b^{\sqrt{5} - 3}}$ .
$\frac{{(b^{\sqrt{3} + 1})}^{\sqrt{3} - 1}}{b^{4 - \sqrt{5}} \cdot b^{\sqrt{5} - 3}} = \frac{b^{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)}}{b^{4 - \sqrt{5} + \sqrt{5} - 3}} = b$ .

Было полезно?