Методы решения показательных уравнений

Решите уравнение $5^{𝑥-1}=7^{3𝑥-3}$.

$5^{𝑥-1}=7^{3(𝑥-1)}$,

$5^{𝑥-1}={343}^{𝑥-1}$.

Разделим обе части уравнение на ${343}^{𝑥-1}$.

$\frac{5^{𝑥-1}}{{343}^{𝑥-1}}=1$,

${\left(\frac{5}{343}\right)}^{𝑥-1}=1$.

Приведём обе части уравнения к одному основанию.

${\left(\frac{5}{343}\right)}^{𝑥-1}={\left(\frac{5}{343}\right)}^0$,

$𝑥-1=0$,

$𝑥=1$.

Ответ: 1.

Решите уравнение $4\cdot 9^{𝑥}-13\cdot 6^{𝑥}+9\cdot 4^{𝑥}=0$.

$4\cdot 3^{2𝑥}-13\cdot 2^{𝑥}\cdot 3^{𝑥}+9\cdot 2^{2𝑥}=0$.

Разделим обе части уравнения на $3^{2𝑥},$

$4-13\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^{𝑥}+9\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^{2𝑥}=0$.

Введём новую переменную ${𝑡=\left(\frac{2}{3}\right)}^{𝑥}$, тогда ${{𝑡}^2=\left(\frac{2}{3}\right)}^{2𝑥}$.

$4-13𝑡+9{𝑡}^2=0$,

${𝑡}_1=\frac{4}{9}, {𝑡}_2=1$.

Обратная замена:

${𝑡}_1=\frac{4}{9}$, ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{𝑥}=\frac{4}{9}$, $𝑥=2$,

${𝑡}_2=1$, ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{𝑥}=1$, $𝑥=0$.

Ответ: 0; 2.