Преобразование выражений, содержащих рациональные степени

Для преобразования выражений, содержащих рациональные степени, используют свойства степени и свойства арифметических операций.

Пример 1. Упростите выражение $\frac{{𝑥}^{\frac{1}{2}}-{𝑥}^{\frac{7}{2}}}{{𝑥}^{\frac{1}{2}}-{𝑥}^2}+\frac{{𝑥}^{-\frac{1}{2}}-{𝑥}^{\frac{5}{2}}}{𝑥+{𝑥}^{-\frac{1}{2}}}$.

$\frac{{𝑥}^{\frac{1}{2}}-{𝑥}^{\frac{7}{2}}}{{𝑥}^{\frac{1}{2}}-{𝑥}^2}+\frac{{𝑥}^{-\frac{1}{2}}-{𝑥}^{\frac{5}{2}}}{𝑥+{𝑥}^{-\frac{1}{2}}}=\frac{{𝑥}^{\frac{1}{2}}\left(1-{𝑥}^3\right)}{{𝑥}^{\frac{1}{2}}\left(1-{𝑥}^{\frac{3}{2}}\right)}+\frac{{𝑥}^{-\frac{1}{2}}\left(1-{𝑥}^3\right)}{{𝑥}^{-\frac{1}{2}}\left({𝑥}^{\frac{3}{2}}+1\right)}=$

$=\frac{{𝑥}^{\frac{1}{2}}\left(1-{𝑥}^3\right)\cdot {𝑥}^{-\frac{1}{2}}\left({𝑥}^{\frac{3}{2}}+1\right)+{𝑥}^{-\frac{1}{2}}\left(1-{𝑥}^3\right){𝑥}^{\frac{1}{2}}\left(1-{𝑥}^{\frac{3}{2}}\right)}{{𝑥}^{\frac{1}{2}}\left(1-{𝑥}^{\frac{3}{2}}\right){𝑥}^{-\frac{1}{2}}\left({𝑥}^{\frac{3}{2}}+1\right)}=$

$=\frac{{𝑥}^{-\frac{1}{2}}{𝑥}^{\frac{1}{2}}\left(1-{𝑥}^3\right)\left(\left({𝑥}^{\frac{3}{2}}+1\right)+\left(1-{𝑥}^{\frac{3}{2}}\right)\right)}{{𝑥}^{\frac{1}{2}}\left(1-{𝑥}^{\frac{3}{2}}\right){𝑥}^{-\frac{1}{2}}\left({𝑥}^{\frac{3}{2}}+1\right)}=\frac{\left(1-{𝑥}^3\right)\left({𝑥}^{\frac{3}{2}}+1+1-{𝑥}^{\frac{3}{2}}\right)}{\left(1-{𝑥}^{\frac{3}{2}}\right)\left({𝑥}^{\frac{3}{2}}+1\right)}=$

$=\frac{\left(1-{𝑥}^3\right)\cdot 2}{1-{\left({𝑥}^{\frac{3}{2}}\right)}^2}=2.$

Пример 2. Упростите выражение $\frac{{\left({𝑏}^{\sqrt{3}+1}\right)}^{\sqrt{3}-1}}{{𝑏}^{4-\sqrt{5}}\cdot {𝑏}^{\sqrt{5}-3}}$.

$\frac{{\left({𝑏}^{\sqrt{3}+1}\right)}^{\sqrt{3}-1}}{{𝑏}^{4-\sqrt{5}}\cdot {𝑏}^{\sqrt{5}-3}}=\frac{{𝑏}^{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}}{{𝑏}^{4-\sqrt{5}+\sqrt{5}-3}}=𝑏$.