Математика • 10 класс

Решение уравнений методом избавления от иррациональности

Способы освобождения от иррациональности
Умножение и числителя, и знаменателя на множитель, если дробь содержит множитель $\sqrt{a} \pm \sqrt{β}$	$\frac{4}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} = \frac{4 \cdot (\sqrt{7} + \sqrt{3})}{(\sqrt{7} - \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{7} + \sqrt{3})} =$ $= \frac{4 \cdot (\sqrt{7} + \sqrt{3})}{7 - 3} = \frac{4 \cdot (\sqrt{7} + \sqrt{3})}{4} = \sqrt{7} + \sqrt{3}$
Доведение числителя или знаменателя до разности/суммы квадрата/куба	$\frac{1}{\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2}} = \frac{{(\sqrt[3]{3})}^{2} + \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{2} - {(\sqrt[3]{2})}^{2}}{(\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2}) ({(\sqrt[3]{3})}^{2} + \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{2} + {(\sqrt[3]{2})}^{2})} =$ $= \frac{{(\sqrt[3]{3})}^{2} + \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{2} + {(\sqrt[3]{2})}^{2}}{{(\sqrt[3]{3})}^{3} - {(\sqrt[3]{2})}^{3}} = \frac{\sqrt[3]{3^{2}} + \sqrt[3]{3 \cdot 2} + \sqrt[3]{2^{2}}}{3 - 2} =$ $= \sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4} = 3 + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4}$

Способы освобождения от иррациональности

Умножение и числителя, и знаменателя на множитель, если дробь содержит множитель $\sqrt{a} \pm \sqrt{β}$

$\frac{4}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} = \frac{4 \cdot (\sqrt{7} + \sqrt{3})}{(\sqrt{7} - \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{7} + \sqrt{3})} =$

$= \frac{4 \cdot (\sqrt{7} + \sqrt{3})}{7 - 3} = \frac{4 \cdot (\sqrt{7} + \sqrt{3})}{4} = \sqrt{7} + \sqrt{3}$

Доведение числителя или знаменателя до разности/суммы квадрата/куба

$\frac{1}{\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2}} = \frac{{(\sqrt[3]{3})}^{2} + \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{2} - {(\sqrt[3]{2})}^{2}}{(\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2}) ({(\sqrt[3]{3})}^{2} + \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{2} + {(\sqrt[3]{2})}^{2})} =$

$= \frac{{(\sqrt[3]{3})}^{2} + \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{2} + {(\sqrt[3]{2})}^{2}}{{(\sqrt[3]{3})}^{3} - {(\sqrt[3]{2})}^{3}} = \frac{\sqrt[3]{3^{2}} + \sqrt[3]{3 \cdot 2} + \sqrt[3]{2^{2}}}{3 - 2} =$

$= \sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4} = 3 + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4}$

Было полезно?