Иррациональные уравнения с вложенными корнями

Решение таких уравнений требует умения выполнять алгебраические преобразования, понимания ОДЗ, логики эквивалентных преобразований и контроля за посторонними корнями.

Пример. Решите уравнение $\sqrt{4+x\sqrt{x^2+40}}=x+2.$

Решение. ОДЗ: $x+2\ge 0;x\ge -2$.

Избавимся от внешнего радикала, возведя обе части равенства в квадрат:

$4+x\sqrt{x^2+40}=x+2\text{.}$

Раскроем ФСУ и перенесём слагаемые так, чтобы только в одной из частей остался радикал:

$x\sqrt{x^2+40}$ $=x^2+4x.$

Разделим обе части уравнения на $x\ne 0$, получим:

$\sqrt{x^2+40}$ $=x+4.$

Снова возведём обе части в квадрат и решим полученное уравнение:

$x^2+40={(x+4)}^2;8x=24;x=3.$

Случай же, когда $x$ всё же равен нулю, мы рассмотрим отдельно. Для этого подставим $x=0$сразу в исходное уравнение:

$\sqrt{4+0\sqrt{0^2+40}}=0+2; \sqrt{4}=2;2=2.$

Получили верное равенство, значит, 0 является корнем. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ. 0; 3.