Равносильные переходы в иррациональных уравнениях

• Два уравнения с одной переменной $𝑓\left(𝑥\right)=𝑔\left(𝑥\right)$ и $𝑝\left(𝑥\right)=h\left(𝑥\right)$ называют равносильными, если множества их корней совпадают.

• Уравнение вида $\sqrt{𝑓\left(𝑥\right)}=\sqrt{𝑔\left(𝑥\right)}$ равносильно системе

$\left\{\begin{array}{c}𝑓\left(𝑥\right)=𝑔\left(𝑥\right),\\ 𝑓\left(𝑥\right)\ge 0.\end{array}\right.$

• Уравнение вида $\sqrt{𝑓\left(𝑥\right)}=𝑔\left(𝑥\right)$ равносильно системе

$\left\{\begin{array}{c}𝑓\left(𝑥\right)={𝑔}^2\left(𝑥\right),\\ 𝑔\left(𝑥\right)\ge 0.\end{array}\right.$

• Уравнение вида $\sqrt{𝑓\left(𝑥\right)}\cdot \sqrt{𝑔\left(𝑥\right)}=h\left(𝑥\right)$ равносильно системе

$\left\{\begin{array}{c}𝑓\left(𝑥\right)\cdot 𝑔\left(𝑥\right)=h^2\left(𝑥\right),\\ 𝑓\left(𝑥\right)\ge 0,\\ h\left(𝑥\right)\ge 0.\end{array}\right.$