Математика • 10 класс

Простейшие иррациональные уравнения

Иррациональные уравнения – это уравнения, которые содержат переменную под знаком корня.
Если обе части уравнения возвести в нечётную степень, то получим уравнение, равносильное данному.
При возведении обеих частей уравнения в чётную степень получаем уравнение, являющееся следствием данного.
Пример. Решите уравнение $\sqrt{x + 7} = x - 3 .$

Решение. Данное уравнение равносильно системе $\{\begin{matrix} x + 7 = {(x - 3)}^{2}; \\ x - 3 \geq 0 . \end{matrix}$

Отсюда $\{\begin{matrix} x^{2} - 7 x + 2 = 0; \\ x \geq 3; \end{matrix}$ $\{\begin{matrix} x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{41}}{2}; \\ x \geq 3; \end{matrix}$ $x = \frac{7 + \sqrt{41}}{2} .$

Ответ. $\frac{7 + \sqrt{41}}{2}$ .