Преобразования числовых выражений

Рассмотрим пример, где применяется способ выделения полного квадрата под знаком корня. Упростите выражение: $\sqrt{12+8\sqrt{2}}+\sqrt{12-8\sqrt{2}}$.

Найдём значения a и b полного квадрата под корнем, то есть $\sqrt{12+8\sqrt{2}}=\sqrt{{\left(𝑎+𝑏\right)}^2}\Rightarrow 12+8\sqrt{2}={𝑎}^2+2𝑎𝑏+{𝑏}^2$.

Сумма квадратов не может равняться иррациональному числу, значит, $\left\{\begin{array}{c}{𝑎}^2+{𝑏}^2=12;\\ 2𝑎𝑏=8\sqrt{2}.\end{array}\right.⟺\left\{\begin{array}{c}𝑎=-2\sqrt{2}\\ 𝑏=-2\end{array}\right., \left\{\begin{array}{c}𝑎=2\sqrt{2}\\ 𝑏=2\end{array}\right., \left\{\begin{array}{c}𝑎=-2\\ 𝑏=-2\sqrt{2}\end{array}\right., \left\{\begin{array}{c}𝑎=2\\ 𝑏=2\sqrt{2}\end{array}\right.,$ так как в формуле квадрат суммы переменные a и b равноправны, получаем $12+8\sqrt{2}={\left(2\sqrt{2}+2\right)}^2$. Аналогично $12-8\sqrt{2}={\left(2\sqrt{2}-2\right)}^2$.

$\sqrt{12+8\sqrt{2}}+\sqrt{12-8\sqrt{2}}=\sqrt{{\left(2\sqrt{2}+2\right)}^2}+\sqrt{{\left(2\sqrt{2}-2\right)}^2}=4\sqrt{2}$.