Математика • 8 класс

Квадратные уравнения, содержащие знак модуля

Алгоритм решения	Пример
Уравнение вида $\|𝑎 𝑥^{2} + 𝑏 𝑥 + 𝑐\| = 𝑏$ , где $𝑏 > 0$
Избавиться от модуля, решив два уравнения: $𝑎 𝑥^{2} + 𝑏 𝑥 + 𝑐 = 𝑏$ или $𝑎 𝑥^{2} + 𝑏 𝑥 + 𝑐 = - 𝑏$ . Если в исходном уравнении $𝑏 < 0$ , то решений нет	$\|𝑥^{2} + 3 𝑥 - 2\| = 2$ . $𝑥^{2} + 3 𝑥 - 2 = 2$ или $𝑥^{2} + 3 𝑥 - 2 = - 2$
x₁ = 1 x₂ = –4	x₁ = 0 x₂ = –3
Уравнение вида $\|𝑎 𝑥^{2} + 𝑏 𝑥 + 𝑐\| = 𝑎 𝑥 + 𝑏$ имеет смысл, если $𝑎 𝑥 + 𝑏 \geq 0$ или $\|𝑎 𝑥^{2} + 𝑏 𝑥 + 𝑐\| = \|𝑎 𝑥 + 𝑏\|$
Два решения: 1) $𝑎 𝑥^{2} + 𝑏 𝑥 + 𝑐 = 𝑎 𝑥 + 𝑏;$ 2) $𝑎 𝑥^{2} + 𝑏 𝑥 + 𝑐 = - (𝑎 𝑥 + 𝑏) .$	$\|2 𝑥^{2} - 5 𝑥 + 3\| = 7 𝑥 + 35$ . $7 𝑥 + 35 \geq 0; 𝑥 \geq - 5 .$ 1) $𝑥^{2} - 5 𝑥 + 3 = 7 𝑥 + 35$ ; x₁ = 8 и x₂ = –2. 2) $2 𝑥^{2} - 5 𝑥 + 3 = - 7 𝑥 - 35$ ; $𝑥^{2} + 𝑥 + 19 = 0$ ; $𝐷 = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 19 < 0$ – решений нет
Уравнение вида $𝑎 𝑥^{2} + 𝑏 \|𝑥\| + 𝑐 = 0$
Применить свойство модуля $𝑥^{2} = {\|𝑥\|}^{2} .$ Воспользоваться методом замены переменной	$𝑥^{2} + 3 \|𝑥\| - 4 = 0$ ; ${\|𝑥\|}^{2} + 3 \|𝑥\| - 4 = 0$ ; $\|𝑥\| = 𝑡$ $𝑡^{2} + 3 𝑡 - 4 = 0$ ; $𝑡_{1} = 1$ и $𝑡_{2} = - 4$ ;
$\|𝑥\| = 1$ x₁ = 1, x₂ = –1	$\|𝑥\| = - 4$ корней нет

Алгоритм решения

Пример

Уравнение вида $|𝑎 𝑥^{2} + 𝑏 𝑥 + 𝑐| = 𝑏$ , где $𝑏 > 0$

Избавиться от модуля, решив два уравнения: $𝑎 𝑥^{2} + 𝑏 𝑥 + 𝑐 = 𝑏$ или $𝑎 𝑥^{2} + 𝑏 𝑥 + 𝑐 = - 𝑏$ .

Если в исходном уравнении $𝑏 < 0$ , то решений нет

$|𝑥^{2} + 3 𝑥 - 2| = 2$ .

$𝑥^{2} + 3 𝑥 - 2 = 2$ или $𝑥^{2} + 3 𝑥 - 2 = - 2$

x₁ = 1

x₂ = –4

x₁ = 0

x₂ = –3

Уравнение вида $|𝑎 𝑥^{2} + 𝑏 𝑥 + 𝑐| = 𝑎 𝑥 + 𝑏$ имеет смысл, если $𝑎 𝑥 + 𝑏 \geq 0$

или $|𝑎 𝑥^{2} + 𝑏 𝑥 + 𝑐| = |𝑎 𝑥 + 𝑏|$

Два решения:

1) $𝑎 𝑥^{2} + 𝑏 𝑥 + 𝑐 = 𝑎 𝑥 + 𝑏;$

2) $𝑎 𝑥^{2} + 𝑏 𝑥 + 𝑐 = - (𝑎 𝑥 + 𝑏) .$

$|2 𝑥^{2} - 5 𝑥 + 3| = 7 𝑥 + 35$ . $7 𝑥 + 35 \geq 0; 𝑥 \geq - 5 .$

1) $𝑥^{2} - 5 𝑥 + 3 = 7 𝑥 + 35$ ; x₁ = 8 и x₂ = –2.

2) $2 𝑥^{2} - 5 𝑥 + 3 = - 7 𝑥 - 35$ ;

$𝑥^{2} + 𝑥 + 19 = 0$ ; $𝐷 = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 19 < 0$ – решений нет

Уравнение вида $𝑎 𝑥^{2} + 𝑏 |𝑥| + 𝑐 = 0$

Применить свойство модуля $𝑥^{2} = {|𝑥|}^{2} .$

Воспользоваться методом замены переменной

$𝑥^{2} + 3 |𝑥| - 4 = 0$ ; ${|𝑥|}^{2} + 3 |𝑥| - 4 = 0$ ;

$|𝑥| = 𝑡$

$𝑡^{2} + 3 𝑡 - 4 = 0$ ; $𝑡_{1} = 1$ и $𝑡_{2} = - 4$ ;

$|𝑥| = 1$

x₁ = 1, x₂ = –1

$|𝑥| = - 4$

корней нет

Было полезно?