Обобщённая теорема Виета

• Многочленом с целыми коэффициентами называется вида

$𝑃\left(𝑥\right)={𝑎}_{𝑛}{𝑥}^{𝑛}+{𝑎}_{𝑛-1}{𝑥}^{𝑛-1}+\cdots +{𝑎}_1𝑥+{𝑎}_0, {𝑎}_{𝑖}\in \mathbb{Z}.$

• Теорема Виета. Если ${𝑥}_1,{𝑥}_2,\dots ,{𝑥}_{𝑛}$ – все корни многочлена

  $𝑃\left(𝑥\right)={𝑎}_{𝑛}{𝑥}^{𝑛}+{𝑎}_{𝑛-1}{𝑥}^{𝑛-1}+\cdots +{𝑎}_1𝑥+{𝑎}_0,$

  то сумма всевозможных произведений корней многочлена, взятых по $𝑘$ штук с учётом их кратностей, равна ${(-1)}^{𝑘},$ умноженному на отношение коэффициента при переменной степени $𝑛-𝑘$ к старшему коэффициенту:

  $\left\{\begin{array}{c}{𝑥}_1+{𝑥}_2+\cdots +{𝑥}_{𝑛}=-\frac{{𝑎}_{𝑛-1}}{{𝑎}_{𝑛}},\\ {𝑥}_1{𝑥}_2+{{𝑥}_1𝑥}_3+\cdots +{𝑥}_1{𝑥}_{𝑛}+{𝑥}_2{𝑥}_3+\cdots +{𝑥}_{𝑛-1}{𝑥}_{𝑛}=\frac{{𝑎}_{𝑛-2}}{{𝑎}_{𝑛}},\\ \cdots \cdots \cdots ,\\ {𝑥}_1{𝑥}_2\cdot \cdots \cdot {𝑥}_{𝑛}={\left(-1\right)}^{𝑛}\frac{{𝑎}_0}{{𝑎}_{𝑛}}.\end{array}\right.$