Математика • 10 класс

Уравнения с модулем

Уравнения с модулем – уравнения, в которых имеется переменная, заключённая в знак модуля: $|a| = \{\begin{matrix} a, a \geq 0 \\ – a, a < 0 . \end{matrix}$
Простейшее уравнение с модулем – это уравнение вида $| x | = a$ .
- При $a < 0$ уравнение решений не имеет, так как модуль по определению принимает только неотрицательные значения.
- При $a = 0$ уравнение имеет одно решение $x = 0$ , так как 0 равен модуль только числа 0.
- При $a > 0$ уравнение имеет два решения $x = a$ , $x = - a$ .
Для решения уравнений с модулем используют два метода: последовательных упрощений и замены переменных.
- Метод последовательных упрощений заключается в раскрытии модулей по определению.
- Метод замены переменных заключается во введении в уравнение новой переменной.
Пример. Решите уравнение |x + 3| = 5. Так как 5 > 0, x + 3 = 5 или x + 3 = –5. Тогда x = 2 или x = –8.
Ответ. –8, 2.

Было полезно?