Математика • 11 класс

Формула расстояния от точки до плоскости в координатах

Пусть координаты точки: $𝑀 (𝑥_{0}; 𝑦_{0}; 𝑧_{0})$ , уравнение плоскости: $𝐴 𝑥 + 𝐵 𝑦 + 𝐶 𝑧 + 𝐷 = 0$ , тогда расстояние от точки до плоскости вычисляется по формуле:

$𝑑 = \frac{|𝐴 𝑥_{0} + 𝐵 𝑦_{0} + 𝐶 𝑧_{0} + 𝐷|}{\sqrt{𝐴^{2} + 𝐵^{2} + 𝐶^{2}}}$ .

Если заданы уравнения параллельных плоскостей $𝐴 𝑥 + 𝐵 𝑦 + 𝐶 𝑧 + 𝐷_{1} = 0$ и $𝐴 𝑥 + 𝐵 𝑦 + 𝐶 𝑧 + 𝐷_{2} = 0$ , то расстояние между плоскостями можно найти, используя следующую формулу:

$𝑑 = \frac{|𝐷_{2} - 𝐷_{1}|}{\sqrt{𝐴^{2} + 𝐵^{2} + 𝐶^{2}}}$ .

Пусть даны точки $𝐴 (𝑎_{1}; 𝑎_{2}; 𝑎_{3})$ и $𝐵 (𝑏_{1}; 𝑏_{2}; 𝑏_{3})$ . Тогда координаты точки $𝑀 (𝑥; 𝑦; 𝑧)$ , которая делит отрезок AB в отношении $λ = \frac{𝐴 𝑀}{𝐵 𝑀}$ , выражаются формулами:

$𝑥 = \frac{𝑎_{1} + λ 𝑏_{1}}{1 + λ}$ , $𝑦 = \frac{𝑎_{2} + λ 𝑏_{2}}{1 + λ}$ , $𝑧 = \frac{𝑎_{3} + λ 𝑏_{3}}{1 + λ}$ .

Было полезно?