Облако знаний. Умножение и деление комплексных чисел. Математика. 11 класс

Умножение и деление комплексных чисел

Умножением (делением) комплексных чисел $𝑧_{1} = 𝑎_{1} + 𝑏_{1} 𝑖$ и $𝑧_{2} = 𝑎_{2} + 𝑏_{2} 𝑖$ называется комплексное число, определяемое равенством:

$𝑧_{1} \cdot 𝑧_{2} = (𝑎_{1} + 𝑏_{1} 𝑖) \cdot (𝑎_{2} + 𝑏_{2} 𝑖) = (𝑎_{1} 𝑎_{2} - 𝑏_{1} 𝑏_{2}) + (𝑎_{1} 𝑏_{2} + 𝑎_{2} 𝑏_{1}) 𝑖$ ;

$\frac{𝑧_{1}}{𝑧_{2}} = \frac{𝑎_{1} + 𝑏_{1} 𝑖}{𝑎_{2} + 𝑏_{2} 𝑖} = \frac{𝑎_{1} 𝑎_{2} + 𝑏_{1} 𝑏_{2}}{{𝑎_{2}}^{2} + {𝑏_{2}}^{2}} + \frac{𝑎_{2} 𝑏_{1} - 𝑎_{1} 𝑏_{2}}{{𝑎_{2}}^{2} + {𝑏_{2}}^{2}} 𝑖$ , ${𝑎_{2}}^{2} + {𝑏_{2}}^{2} \neq 0$ .

Частным от деления комплексного числа $𝑧_{1}$ на комплексное число $𝑧_{2}$ ${(𝑧}_{2} \neq 0)$ называют такое комплексное число $𝑧_{3} = 𝑥 + 𝑦 𝑖$ , которое при умножении на $𝑧_{2}$ даёт $𝑧_{1}$ .
Каждое отличное от нуля комплексное число $𝑧 = 𝑎 + 𝑏 𝑖$ имеет единственное обратное ему число, обозначаемое $\frac{1}{𝑧}$ , которое при умножении на число z даёт 1:

$\frac{1}{𝑧} \cdot 𝑧 = 1$ .

$\frac{1}{𝑧} = \frac{1}{𝑎 + 𝑏 𝑖} = \frac{𝑎 - 𝑏 𝑖}{(𝑎 + 𝑏 𝑖) (𝑎 - 𝑏 𝑖)} = \frac{𝑎}{𝑎^{2} + 𝑏^{2}} - \frac{𝑏}{𝑎^{2} + 𝑏^{2}} 𝑖, 𝑎^{2} + 𝑏^{2} \neq 0 .$

Было полезно?