Арифметические действия с многочленами

Чтобы умножить два многочлена$\mathrm{ }\mathrm{𝑃}\left(\mathrm{𝑥}\right)\mathrm{ }$и$\mathrm{ }\mathrm{𝑄}\left(\mathrm{𝑥}\right)$, нужно каждый член многочлена$\mathrm{ }\mathrm{𝑃}\left(\mathrm{𝑥}\right)$ умножить на каждый член многочлена$\mathrm{ }\mathrm{𝑄}\left(\mathrm{𝑥}\right)\mathrm{ }$и полученные результаты сложить.

Многочлен$\mathrm{ }\mathrm{𝑃}\left(\mathrm{𝑥}\right)\mathrm{ }$делится на многочлен$\mathrm{ }\mathrm{𝑆}\left(\mathrm{𝑥}\right)$, если существует такой многочлен$\mathrm{ }\mathrm{𝑄}\left(\mathrm{𝑥}\right)$, что выполняется тождество$\mathrm{ }\mathrm{𝑃}\left(\mathrm{𝑥}\right)=\mathrm{𝑆}\left(\mathrm{𝑥}\right)\cdot \mathrm{𝑄}\left(\mathrm{𝑥}\right)$.

Для любых двух многочленов ненулевой степени$\mathrm{ }\mathrm{𝑃}\left(\mathrm{𝑥}\right)\mathrm{ }$и$\mathrm{ }\mathrm{𝑆}\left(\mathrm{𝑥}\right)\mathrm{ }$существует пара многочленов$\mathrm{ }\mathrm{𝑄}\left(\mathrm{𝑥}\right)\mathrm{ }$и$\mathrm{ }\mathrm{𝑅}\left(\mathrm{𝑥}\right)\mathrm{ }$такая, что степень многочлена$\mathrm{ }\mathrm{𝑅}\left(\mathrm{𝑥}\right)\mathrm{ }$меньше степени многочлена$\mathrm{ }\mathrm{𝑆}\left(\mathrm{𝑥}\right)\mathrm{ }$и выполняется тождество$\mathrm{ }\mathrm{𝑃}\left(\mathrm{𝑥}\right)=\mathrm{𝑆}\left(\mathrm{𝑥}\right)\cdot \mathrm{𝑄}\left(\mathrm{𝑥}\right)+\mathrm{𝑅}\left(\mathrm{𝑥}\right)$.